Тема 4. Теория нечётких множеств. Теория неопределённости. Нечёткие алгоритмы.

Под множествомпонимают некоторую совокупность объектов любой природы, различимых между собой и мыслимую как единое целое. Объекты, составляющие множество называют его элементами. Множество может быть бесконечным (состоит из бесконечного числа элементов), конечным (состоит из конечного числа элементов), пустым (не содержит ни одного элемента). Множества обозначают: , а их элементы: . Пустое множество обозначают .

Множество называют подмножествоммножества , если все элементы множества принадлежат множеству и пишут . Множества и называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов и пишут . Два множества и будут равны тогда и только тогда, когда и .

Множество называют универсальным(в рамках данной математической теории),если его элементами являются все объекты, рассматриваемые в данной теории.

Множество можно задать: 1) перечислением всех его элементов, например: (только для конечных множеств); 2) заданием правила определения принадлежности элемента универсального множества , данному множеству : .

Множество можно задать также и как множество упорядоченных пар , где , - функция принадлежности элемента универсального множества данному множеству. Для обычных (чётких) множеств функция принадлежности принимает только два крайних значения и .

Нечётким (размытым) называют множество , где , , т.е. функция принадлежности принимает значения, принадлежащие отрезку . Основателем теории нечётких множеств является Лотфи А.Заде (1965). Методы теории нечётких множеств особенно эффективны в следующих случаях: 1) при изучении сложных процессов, когда нет простой математической модели; 2) если экспертные знания об изучаемом объекте или процессе можно сформулировать только в лингвистической (словесной) форме. Об эффективности применения методов теории нечётких множеств обычно можно судить только после получения конкретных результатов. Для задания нечёткого множества необходимо: 1) определить универсальное множество ; 2) сформировать функцию принадлежности . Функцию принадлежности можно задать: 1) перечислением всех её значений для каждого из элементов универсального множества; 2) аналитическим выражением.

Примеры задания нечётких множеств:

1) - группа людей из нескольких человек:

, где ;

2) - множество действительных чисел очень близких к числу :

, где , ;

3) - множество действительных чисел достаточно близких к числу :

, где , .