Кванторные операции: кванторы общности и существования.

Функциональная природа предиката влет за собой введение ещё одного понятия – квантора.Кванторные операции(кванторы)рассматривают как обобщение операций конъюнкции и дизъюнкции на случай бесконечных областей.

В логике предикатов существуют две особые операции, которые превращают одноместный предикат в высказывание, т.е. операции, которые связывают аргумент предиката.

Квантор всеобщности .Если , где -предикат, то выражение является высказыванием, истинным, если при всех и ложным в противном случае. -читается «для всякого истинно».

В предикате переменная является свободной( -любое из ), а в высказывании переменная является связанной.

Если , то справедлива равносильность .

Квантор существования .Если , где -предикат, то выражение является высказыванием, истинным, если существует , для которого и ложным в противном случае. -читается «существует , при котором истинно».

В предикате переменная является свободной( -любое из ), а в высказывании переменная является связанной.

Если , то справедлива равносильность .

Кванторы могут применятся и к многоместным предикатам. Применение кванторной операции к предикату по переменной ставит в соответствие двухместному предикату одноместный предикат или , зависящий от и не зависящий от . К двуместному предикату можно применить кванторные операции и по обеим переменным. В результате получится восемь высказываний: ,…, . В общем случае изменение порядка следования кванторов изменяет смысл высказывания и его логическое значение, т.е например, высказывания и , и различны. Так, пусть предикат :« - мать для », тогда высказывание :«у каждого человека есть мать» - истинное утверждение, а истинность высказывание : «существует мать всех людей» зависит от множества значений, которые могут принимать : если это множество братьев и сестёр, то оно истинно, в противном случае оно ложно. Таким образом, перестановка кванторов всеобщности и существования может изменить сам смысл и значение выражения.

Квантор существования можно выразить через квантор всеобщности

Пример3. Установить истинность или ложность высказываний на множестве .

1) - ложное;

2) - истинное.

3) . Предикат преобразуем к виду = = . Тогда высказывание - истинное.