Лекция «ОПРЕДЕЛИТЕЛИ» (2 часа)

1.1. Основные понятия

· Определителем называется число, заданное квадратной таблицей чисел, которая содержит п строк и п столбцоводинаковой длины.

Определитель обозначается .

Количество строк задает порядок определителя.

1. n = 1. det A = a₁.

2. n =2. .

3. n = 3.

Правила вычисления определителей

Правило вычисления определителя порядка п является довольно сложным для восприятия и применения. Однако известны методы, позволяющие реализовать вычисление определителей высоких порядков на основе определителей низших порядков. Один из методов основан на свойстве разложения определителя по элементам некоторого ряда.

Определители невысоких порядков (1, 2, 3) желательно уметь вычислять согласно определению.

1. Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой:

Пример. Найти определители

Решение:

2. При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников(или Саррюса), которое символически можно записать так:

Пример. Вычислить определитель матрицы

Решение:

1.2. Свойства определителей

Сформулируем основные свойства определителей, присущие определителям всех порядков. Некоторые из этих свойств поясним на определителях 3-го порядка.

Свойство 1 («Равноправность строк и столбцов»). Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.

Иными словами,

,

В дальнейшем строки и столбцы будем просто называть рядами определителя.

Свойство 2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

Свойство 3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

Свойство 4. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

Следствие. Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен нулю.

Действительно,

Свойство 5. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

Например,

Свойство 6. («Элементарные преобразования определителя»). Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.

Пример. Доказать, что

Решение: Действительно, используя свойства 5, 4 и 3, получим

Дальнейшие свойства определителей связаны с понятиями минора и алгебраического дополнения.

Миноромнекоторого элемента a_ij определителя n-го порядка называется определитель п — 1-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается m_ij

Так, если , то ,

Алгебраическим дополнениемэлемента a_ij определителя называется его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма i + j — четное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечетная.

Обозначается A_ij: A_ij = (-1)ⁱ⁺^j· m_ij

Так, A₁₁ = +m₁₁, A₃₂ = -m₃₂

Свойство 7. («Разложение определителя по элементам некоторого ряда»). Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.

Проиллюстрируем и одновременно докажем свойство 7 на примере определителя 3-его порядка. В этом случае свойство 7 означает, что

В самом деле, имеем

Свойство 7 содержит в себе способ вычисления определителей высоких порядков.

Пример. Вычислите определитель матрицы

Решение: Для разложения определителя обычно выбирают тот ряд, где есть нулевые элементы, т. к. соответствующие им слагаемые в разложении будут равны нулю.

Свойство 8. Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

Так, например,