Типовой расчет состоит из двух задач. В каждой из них задана дискретная случайная величина. Требуется 1. Найти распределение этой случайной величины. 2. Провести контроль расчетов, сложив полученные вероятности. Их сумма должна быть равна единице. 3. Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(Х) случайной величины Х. 4. Вычислить вероятность Р события, сформулированного в условии задачи. 5. Найти функцию распределения F(x) и построить ее график.
Примеры выполнения задач типового расчета
Задача 1. Стрелок стреляет в мишень до первого попадания, но не более четырех раз. Вероятность попадания при одном выстреле равна р = 0,6. Дискретная случайная величина Х – число затраченных патронов. Найти распределение вероятностей величины Х, вычислить М(Х), D(X), σ(Х). Определить вероятность Р того, что стрелок израсходует не менее трех патронов. Найти функцию распределения F(x) и построить ее график. Решение: Все расчеты приведены в таблице 1.3. Случайная величина Х принимает значения Х = n (n = 1, 2, 3, 4). Подсчитаем их вероятности. Пусть вероятность промаха q = 1 – p = 0,4. Очевидно, Р(Х = 1) = р (стрелок попал с первого раза), Р(Х = 2) = qp (стрелок первый раз промахнулся, а во второй раз попал), Р(Х = 3) = q2p (стрелок два раза промахнулся, а в третий раз попал), Р(Х = 4) = q3p + q4 (стрелок три раза промахнулся, а в четвертый раз попал; или четыре раза промахнулся, но и в этом случае Х = 4, так как стрелок стреляет не более четырех раз).
Таблица 1.3
X
P
X·P
X 2·P
F(x)
0,6
0,6
0,6
0,4 · 0,6 = 0,24
0,48
0,96
0,6
0,42 · 0,6 = 0,096
0,288
0,864
0,84
0,43 · 0,6 + 0,44 = 0,064
0,256
1,024
0,936
∑
1,000
1,624
3,448
Расчет математического ожидания случайных величин X и X 2 также приведен в таблице 1.3 по формулам (1.18), (1.22): M(X) = xi pi ; M(X 2 ) = xi2pi ; D(X) = M(X 2 ) – (M(X))2. В столбцах XP и X 2P записаны значения произведений xi pi и xi2pi. В последней строке – суммы элементов соответствующих столбцов. M(X) = 1,624; M(X 2) = 3,448; D(X) = 3,448 – 1,624 2 ≈ 0,81; σ ≈ 0,9. Вероятность того, что стрелок израсходует не менее трех патронов соответствует вероятности события X ≥ 3: P(X ≥ 3) = P (X = 3) + P (X = 4) = 0,096 + 0,064 = 0,16.
Риснок 1.2
Функцию распределения F(х) находим по формуле (1.15) как функцию накопленных вероятностей , где суммирование распространяется на все значения индекса i, для которых xi < x. Полученные значения функции распределения записаны в последнем столбце таблицы 1.3. Искомая функция распределения имеет вид: График функции распределения представлен на рис. 1.2. Ответ: M(X) = 1,624; D(X) ≈ 0,81; σ ≈ 0,9; P(X) = 0,16.
Задача 2. Стрелок делает пять независимых выстрелов в мишень. вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Случайная величина Х – число попаданий в цель. Найти распределение вероятностей величины Х, вычислить М(Х), D(X), σ(Х). Определить вероятность Р того, что цель будет поражена, т.е. будет хотя бы одно попадание. Найти функцию распределения F(x) и построить ее график. Решение: Дискретная случайная величина Х имеет биномиальное распределение, где n = 5, р = 0,6, q = 0, 4, тогда вероятности P(X = m) можно вычислить по формуле (1.16): P(X = 0) = P5(0) = C50p0q5 = (0,4)5 = 0,0102. P(X = 1) = P5(1) = C51p1q4 = 5 · 0,6 · (0,4)4 = 0,0768. P(X = 2) = P5(2) = C52p2q3 = 10 · 0,62 · (0,4)3 = 0,2304. P(X = 3) = P5(3) = C53p3q2 = 10 · 0,63 · (0,4)2 = 0,3456. P(X = 4) = P5(4) = C54p4q1 = 5 · 0,64 · (0,4) = 0,2592. P(X = 5) = P5(5) = C55p5q0 = 0,65 = 0,0778. Проверка: pi = 0,0102 + 0,0768 + 0,2304 + 0,3456 + 0,2592 + 0,0778 = 1. Распределение вероятностей случайной величины Х приведено в табл. 1.4. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины Х, имеющей биномиальное распределение, могут быть найдены по формулам (1.23): M(X) = np = 5 · 0,6 = 3; D(X) =npq = (np)q = 3 · 0,4 = 1.2; σ (X) = ≈ 1,095.
Таблица 1.4
X
P
F(x)
(0,4)5 = 0,0102
5 · 0,6 · (0,4)4 = 0,0768
0,0102
10 · (0,6)2 · (0,4)3 = 0,2304
0,087
10 · (0,6)3 · (0,4)2 = 0,3456
0,3174
5 · (0,6)4 · 0,4 = 0,2592
0,663
(0,6)5 = 0,0778
0,9222
∑
1,000
Вероятность того, что цель будет поражена, т.е. будет хотя бы одно попадание соответствует вероятности события X ≥ 1. P(X ≥ 1) = 1 – P (X = 0) = 1 – 0,0102 = 0,9898. Функцию распределения F(х) находим по формуле (1.15) как функцию накопленных вероятностей , где суммирование распространяется на все значения индекса i, для которых xi < X. Полученные значения функции распределения записаны в последнем столбце таблицы 1.4. Искомая функция распределения имеет вид: . График функции распределения представлен на рис. 1.3.
Задача 3. В партии из 30 деталей имеется 8 нестандартных, остальные стандартные. Наудачу отобраны 6 деталей. Х – числа стандартных деталей среди отобранных. Найти распределение вероятностей дискретной случайной величины Х, вычислить М(Х), D(X), σ(Х). Определить вероятность Р того, что среди отобранных деталей не более двух нестандартных. Найти функцию распределения F(x) и построить ее график. Решение:P (X = 0) = Р(все 6 деталей нестандартные) = =(8/30)(7/29)(6/28)(5/27)(4/26)(3/25) ≈ 0,00005. P (X = 1) = Р (одна деталь стандартная, остальные нестандартные) = = 6 · (22/30)(8/29)(7/28)(6/27)(5/26)(4/25) ≈ 0,00207. Найдена вероятность события: первая вынутая деталь стандартная, остальные нестандартные. Но стандартная деталь может быть вынута первой, второй, третьей, … , шестой, т.е. возможно шесть несовместных событий (вариантов), а искомое событие X = 1 является их суммой. Вероятность каждого варианта одинакова, поэтому найденная вероятность умножена на 6. P (X = 2) = Р(две детали стандартные, остальные нестандартные) = = C62 · (22/30) (21/29) (8/28) (7/27) (6/26) (5/25) ≈ 0,02723. Найдена вероятность события: две первые вынутые детали стандартные, остальные нестандартные. Эта вероятность умножена на число вариантов, которыми можно вынуть две детали из шести, т.е. на . P (X = 3) = Р(три детали стандартные, остальные нестандартные) = = C63 · (22/30) (21/29) (20/28) (8/27) (7/26) (6/25) ≈ 0,1452. Найдена вероятность события: три первые вынутые детали стандартные, остальные нестандартные. Эта вероятность умножена на число вариантов, которыми можно вынуть три детали из шести, т.е. на . P (X = 4) = Р(четыре детали стандартные, остальные нестандартные) = = C64 · (22/30) (21/29) (20/28) (19/27) (8/26) (7/25) ≈ 0,3449. P (X = 5) = Р(пять деталей стандартные, остальные нестандартные) = = C65 ·(22/30) (21/29) (20/28) (19/27) (18/26) (8/25) ≈ 0,3548. P (X = 6) = Р(все шесть деталей стандартные) = = (22/30) (21/29) (20/28) (19/27) (18/26) (17/25) ≈ 0,1257. Распределение вероятностей случайной величины X приведено табл. 1.5. Вероятность события X = 0 получилась равной нулю, так как расчет вероятностей проводился с точностью четыре знака после запятой. При более точном расчете P(X = 0) = 0,000047.
Расчет математического ожидания случайных величин X и X2 также приведен в таблице 1.5 по формулам (1.18), (1.22). В столбцах XP и X2P записаны значения произведений xi pi и xi2pi. В последней строке – суммы элементов соответствующих столбцов. M(X) ≈ 4,4; M(X2 ) = 20,3329; D(X) = 20,3329 – 4,40032 ≈ 0,97; σ ≈ 0,985. Вероятность того, что среди отобранных деталей не более двух нестандартных соответствует вероятности события X ≥ 4. P(X ≥ 4) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) = 0,3450+0,3548+0,1257 = 0,8255.
Рисунок 1.4
Функцию распределения F(х) находим по формуле (1.15) как функцию накопленных вероятностей , где суммирование распространяется на все значения индекса i, для которых xi < x. Полученные значения функции распределения записаны в последнем столбце таблицы 1.5. Искомая функция распределения имеет вид: . График функции распределения представлен на рис. 1.4. Ответ: M(X) = 4.4; D(X) = 0,97; σ ≈ 0,985; Р = 0,8255.
xi pi ; M(X 2 ) = 
, где суммирование распространяется на все значения индекса i, для которых xi < x. Полученные значения функции распределения записаны в последнем столбце таблицы 1.3. 
pi = 0,0102 + 0,0768 + 0,2304 + 0,3456 + 0,2592 + 0,0778 = 1. 
≈ 1,095.
. 
. 
. 
.