Математические свойства ФЗ, теоремы

Рассмотрим некоторые математические свойства ФЗ, вытекающие из ее определения. Данные свойства получили название правил Армстронга по имени исследователя, который их сформулировал.

1. Рефлективность

Если Y является подмножеством X, то X определяет Y

YÌX=>X®Y

Такая функциональная зависимость называется тривиальной.

1. Дополнение

А®В => АС®ВС, где С – любое подмножество атрибутов отношения.

1. Транзитивность

А®В и В®С => А®С

В этом случае говорят, что С транзитивно зависит от А. К этому понятию мы еще вернемся при рассмотрении третьей нормальной формы.

Из этих трех основных свойств можно вывести еще несколько.

1. Самоопределение

X®X

Такая зависимость не несет какой-либо информации, однако она удовлетворяет определению ФЗ

1. Декомпозиция

А®ВС=>А®В, А®С

1. Композиция

А®В и С®D =>АС®ВD

7. Теорема о всеобщей зависимости или теорема всеобщего объединения

Если A®B и C®D => AÈ(C-B)®BD

Здесь È - операция объединения множеств.

Правила Армстронга позволяют выводить новые ФЗ на основе других ФЗ. Применяя их, можно вывести множество всех ФЗ данного отношения. Такое множество называется замыканием.

И наоборот, для каждого отношения можно найти такое множество всех ФЗ, в котором ни одна ФЗ не может быть выведена из другой. Такое множество ФЗ заданного отношения называется неприводимым. К.Дж.Дейт показал, что неприводимое множество ФЗ должно обладать следующими свойствами:

· в правой части каждой ФЗ должен быть только одни атрибут;

· из левой части каждой ФЗ нельзя удалить ни одного атрибута без потери этой ФЗ

Такое множество для каждого отношения может быть только одно.

Возвращаясь к примеру с ФЗ отношения Сотрудники (код, ФИО, пол, дата_рождения), отметим, что приведенное в примере множество ФЗ

· код ® ФИО

· код ® пол

· код ® дата_рождения

· код ® (ФИО, пол),

не является неприводимым, т.к. последняя ФЗ может быть легко выведена из первых двух. Первые три ФЗ составляют неприводимое множество ФЗ для отношения Сотрудники.

Приведенное множество не является и замыканием, поскольку из приведенных выше ФЗ можно вывести еще много других ФЗ, например,

(код, ФИО) ® дата_рождения, (код, дата_рождения) ® ФИО и т.д.