Изложение метода (Точечная аппроксимация).

Одним из основных типов точечной аппроксимации является интерполирование. Оно состоит в следующем: для данной функции y=f(x) строим многочлен (2.1), принимающий в заданных точках x_i те же значения y_i, что и функция f(x), т.е. g(x_i)=y_i, i=0,1,…n.

При этом предполагается, что среди значений x_i нет одинаковых, т.е. x_i¹x_k приэтом i¹k. Точки x_i называются узлами интерполяции, а многочлен g(x) - интерполяционным многочленом.

			X

Рис. 1

Таким образом, близость интерполяционного многочлена к заданной функции состоит в том, что их значения совпадают на заданной схеме точек (рис.1, сплошная линия).

Максимальная степень интерполяционного многочлена m=n; в этом случае говорят о глобальной интерполяции.

При большом количестве узлов интерполяции получается высокая степень многочлена (2.1) в случае глобальной интерполяции, т.е. когда нужно уметь один интерполяционный многочлен для всего интервала изменения аргумента. Кроме того, табличные данные могли быть получены путем измерений и содержать ошибки. Построение аппроксимируемого многочлена с условием обязательного прохождения его графика через эти экспериментальные точки означало бы тщательное повторение допущенных при измерениях ошибок. Выход из этого положения может быть найден выбором такого многочлена, график которого проходит близко от данных точек (рис.1, штриховая линия).

Одним из таких видов является среднеквадратичное приближение функции с помощью многочлена (2.1). При этом m £ n; случай m = n соответствует интерполяции. На практике стараются подобрать аппроксимирующий многочлен как можно меньшей степени (как правило, m=1, 2, 3).

Мерой отклонения многочлена g(x) от заданной функции f(x) на множестве точек (x_i,y_i) (i=0,1,…,n) при среднеквадратичном приближении является величина S, равная сумме квадратов разности между значениями многочлена и функции в данных точках:

_n

S = å[g(x_i)-y_i]²

ⁱ⁼⁰

Для построения аппроксимирующего многочлена нужно подобрать коэффициенты a₀, a₁,…,a_m так, чтобы величина S была наименьшей. В этом состоит метод наименьших квадратов.

_n

dS/da₁=2å[ g(x_i)-y_i]²*1=0;

ⁱ⁼¹

_n

dS/da₂=2å[ g(x_i)-y_i]²*x_i=0;

ⁱ⁼¹

…

_n

dS/da_m+1=2å[ g(x_i)-y_i]²*x_i^m=0.

ⁱ⁼¹

C A B