При решении ряда практических задач приходится анализировать ситуации, где налицо две (или более) враждующие стороны, преследующие противоположные цели, причем результат каждого мероприятия одной из сторон зависит от того, какой образ действий выберет противник. Такие ситуации называются "конфликтными ситуациями".
Конфликтная ситуация — ситуация, в которой две (или более) стороны преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от действий партнера.
Можно привести многочисленные примеры конфликтных ситуаций из различных областей практики. Любая ситуация, возникающая в ходе военных действий, принадлежит к конфликтным ситуациям: каждая из борющихся сторон принимает все доступные ей меры для того, чтобы воспрепятствовать противнику достигнуть успеха. К конфликтным принадлежат и ситуации, возникающие при выборе системы вооружения, способов его боевого применения и, вообще, при планировании военных операций: каждое из решений в этой области должно приниматься в расчете на наименее выгодные для нас действия противника. Ряд ситуаций в области экономики (особенно при наличии свободной конкуренции) принадлежит к конфликтным ситуациям, в роли борющихся сторон выступают торговые фирмы, промышленные предприятия и т.д.
Необходимость анализировать подобные ситуации вызвала к жизни специальный математический аппарат. Теория игр по существу представляет собой нечто иное, как математическую теорию конфликтных ситуаций. Цель теории — выработка рекомендаций по рациональному образу действий каждого из противников в ходе конфликтной ситуации.
Каждая непосредственно взятая из практики конфликтная ситуация очень сложна, и анализ ее затруднен наличием многочисленных привходящих факторов. Чтобы сделать возможным математический анализ ситуации, необходимо отвлечься от второстепенных, привходящих факторов и построить упрощенную, формализованную модель ситуации. Такую модель мы будем называть "игрой".
Игра — математическая модель конфликтной ситуации.
От реальной конфликтной ситуации игра отличается тем, что ведется по вполне определенным правилам. Человечество издавна пользуется такими формализованными моделями конфликтных ситуаций, которые являются играми в буквальном смысле слова. Примерами могут служить шахматы, шашки, карточные игры и т.д. Все эти игры носят характер соревнования, протекающего по известным правилам и заканчивающегося "победой" (выигрышем) того или иного игрока.
Такие формально регламентированные, искусственно организованные игры представляют собой наиболее подходящий материал для иллюстрации и усвоения основных понятий теории игр. Терминология, заимствованная из практики таких игр, применяется и при анализе других конфликтных ситуаций: стороны, участвующие в них, условно именуются "игроками", а результат столкновения — "выигрышем" одной из сторон.
Выигрыш (платеж) — исход конфликта.
В игре могут сталкиваться интересы двух или более противников, в первом случае игра называется "парной", во втором — "множественной" Участники множественной игры могут в ее ходе образовывать коалиции — постоянные или временные. При наличии двух постоянных коалиций множественная игра обращается в парную. Наибольшее практическое значение имеют парные игры.
Будем рассматривать парную игру, в которой участвуют два игрока А и В с противоположными интересами. Под "игрой" будем понимать мероприятие, состоящее из ряда действий сторон А и В. Чтобы игра могла быть подвергнута математическому анализу, должны быть точно сформулированы правила игры... Под "правилами игры" разумеется система условий, регламентирующая возможные варианты действий обеих сторон, объем информации каждой стороны о поведении другой, последовательность чередования "ходов" (отдельных решений, принятых в процессе игры), а также результат или исход игры, к которому приводит данная совокупность ходов. Этот результат (выигрыш или проигрыш) не всегда имеет количественное выражение, но обычно можно, установив некоторую шкалу измерения, выразить его определенным числом. Например, в шахматной игре выигрышу можно условно приписать значение +1, проигрышу –1, ничьей 0.
Игра с нулевой суммой — парная игра, в которой выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого.
Игра называется игрой с нулевой суммой, если один игрок выигрывает то, что проигрывает другой, т.е. сумма выигрышей обеих сторон равна нулю. В игре с нулевой суммой интересы игроков прямо противоположны.
Так как в игре с нулевой суммой выигрыш одного из игроков равен выигрышу другого с противоположным знаком, то, очевидно, при анализе такой игры можно рассматривать выигрыш только одного из игроков. Пусть это будет, например, игрок А. В дальнейшем мы для удобства сторону А будем условно именовать "мы", а сторону В — "противник".
При этом сторона А ("мы") будет всегда рассматриваться как "выигрывающая", а сторона В ("противник") как "проигрывающая". Это формальное условие не означает какого-либо реального преимущества для первого игрока; легко видеть, что оно заменяется противоположным, если знак выигрыша изменить на обратный.
Развитие игры во времени мы будем представлять состоящим из ряда последовательных этапов или "ходов". Ходом в теории игр называется выбор одного из предусмотренных правилами игры вариантов. Ходы делятся на личные и случайные.
"Личным ходом "называется сознательный выбор одним из игроков одного из возможных в данной ситуации ходов и его осуществление.
Пример личного хода — любой из ходов в шахматной игре. Выполняя очередной ход, игрок делает сознательный выбор одного из вариантов, возможных при данном расположении фигур на доске.
Набор возможных вариантов при каждом личном ходе регламентирован правилами игры и зависит от всей совокупности предшествующих ходов обеих сторон.
"Случайным ходом" называется выбор из ряда возможностей, осуществляемый не решением игрока, а каким-либо механизмом случайного выбора (бросание монеты, игральной кости, тасовка и сдача карт и т.д.). Например, сдача первой карты одному из игроков в преферанс есть случайный ход с 32 равновозможными вариантами. Чтобы игра была математически определенной, правила игры должны указывать для каждого случайного хода распределение вероятностей возможных исходов. Некоторые игры могут состоять только из случайных ходов (так называемые чисто азартные игры) или только из личных ходов (шахматы, шашки). Большинство карточных игр принадлежит к играм смешанного типа, т.е. содержит как случайные, так и личные ходы.
Игры классифицируются не только по характеру ходов (личные, случайные), но и по характеру, и по объему информации, доступной каждому игроку относительно действий другого. Особый класс игр составляют так называемые "игры с полной информацией". Игрой с полной информацией называется игра, в которой каждый игрок при каждом личном ходе знает результаты всех предыдущих ходов, как личных, так и случайных Примерами игр с полной информацией могут служить шахматы, шашки, а также известная игра "крестики и нолики".
Большинство игр, имеющих практическое значение, не принадлежит к классу игр с полной информацией, так как неизвестность по поводу действий противника обычно является существенным элементом конфликтных ситуаций.
Одним из основных понятий теории игр является понятие "стратегия".
Стратегия игрока — совокупность правил, определяющих выбор его действий при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Обычно решение (выбор) при каждом личном ходе принимается игроком в ходе самой игры в зависимости от сложившейся конкретной ситуации. Однако теоретически дело не изменится, если мы представим себе, что все эти решения принимаются игроком заранее. Для этого игрок должен был бы заблаговременно составить перечень всех возможных в ходе игры ситуаций и предусмотреть свое решение для каждой из них. В принципе (если не практически) это возможно для любой игры. Если такая система решений будет принята, это будет означать, что игрок выбрал определенную стратегию.
Игрок, выбравший стратегию, может теперь не участвовать в игре лично, а заменить свое участие списком правил, которые за него будет применять какое-либо незаинтересованное лицо (судья). Стратегия может быть также задана машине-автомату в виде определенной программы. Именно так в настоящее время играют в шахматы электронные машины.
Чтобы понятие "стратегии" имело смысл, необходимо наличие в игре личных ходов; в играх, состоящих из одних случайных ходов, стратегии отсутствуют.
Цель теории игр — определение оптимальной стратегии для каждого игрока.
