КІРІСПЕ

КІРІСПЕ......................................................................................................................4

1. ЛОГАРИФМ ҰҒЫМЫ. ЛОГАРИФМДІК ФУНКЦИЯ...............................6

1.1. ЛОГАРИФМ ТҮСІНІГІ ЖӘНЕ ЛОГАРИФМНІҢ НЕГІЗГІ ҚАСИЕТТЕРІ..............................................................................................................6

1.2. ЛОГАРИФМДІК ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ЛОГАРИФМДІК ТЕҢСІЗДІКТЕР..........................................................................................................8

2. ПАРАМЕТРІ БАР ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕР............................14

2.1. ПАРАМЕТРІ БАР ТЕҢДЕУЛЕР......................................................................14

2.2. ПАРАМЕТРІ БАР ТЕҢСІЗДІКТЕР..................................................................16

2.3. ПАРАМЕТРІ БАР ЛОГАРИФМДІК ТЕҢДЕУЛЕР........................................21

2.4. ПАРАМЕТРІ БАР ЛОГАРИФМДІК ТЕҢСІЗДІКТЕР....................................25

ҚОРЫТЫНДЫ........................................................................................................28

ПАЙДАЛАНҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ.........................................................29

ҚОСЫМША.............................................................................................................30

КІРІСПЕ

«Біз білім беруді жаңғыртуды одан әрі жалғастыруға тиіспіз. Бүгінде мектептерді компьютерлендіру толықтай аяқталды. Орта білім берудің 12 жылдық моделі енгізілуде.«Өмір бойы білім алу» әрбір қазақстандықтың жеке кредосына айналуы тиіс.

Біз университеттік білім беру мен ғылымды дамытудың жаңа деңгейін қамтамасыз етуге міндеттіміз».[1].

Параметрi бар есептер қарапайым математика курсының өте қиын есептерiнің бiрі болып табылады. Негiзiнде олардың шешiмi есептiң шартына кiретiн функциялардың зерттеу және сандық коэффициенттерi бар теңдеулер мен теңсiздiктердi шешу болып келеді. Параметрi бар теңдеулердi (теңсiздiктерді) шешуде қандай мәндерде берілген теңдеудің (теңсіздіктің) шешімдері бар болатынын анықтап, сол шешiмдердi табу керек. Сол параметрдiң мүмкiн мәндерiнiң кем дегенде бiреуi зерттелмеген жағдайда есеп толық шығарылған болып саналмайды. Ертеден бері параметрi бар есептер жоғарғы оқу орындарындағы талапкерлерге математика пәні бойынша емтихандық билеттерде кездеседі, ал соңғы жылдары мұндай есептер ҰБТ тапсыруда ұсынылады.

Мектеп бағдарламасындағы негізгі тақырыптардың бірі болғандықтан параметрі бар логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктер тақырыбы өзектілігін жоймайды.

Зерттеу объектісі параметрі бар логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктер болып табылады.

Жұмыстың мақсаты: параметрі бар теңдеулер мен теңсіздіктерді кеңінен қарастыру.

Қойылған мақсаттан берілген курстық жұмыстың бірқатар міндеттерін бөлуге болады:

• логарифм және оның қасиеттері ұғымын енгізу;

• логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктер тақырыбын қарастыру;

• параметрі бар теңдеулер мен теңсіздіктер шешуге тоқталу;

• параметрі бар логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктер тақырыбын зерттеу.

Жұмыстың болжамы: бұл тақырыпты оқушылар жақсы меңгерсе, онда оқушыларда басқа тақырыптағы есептерді шығаруда қиындық туындамайды.

Жұмыстың практикалық маңызы: «параметрі бар логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктер» тақырыбы бойынша мектеп оқушыларының, студенттердің білімдерін тереңдетуге және кеңейтуге мүмкіндік береді.

Жұмыстың құрылымы:курстық жұмыс кіріспеден, екі тараудан тұрады. Бірінші тарауда логарифм түсінігі және логарифмдік функция қарастырылады. Екінші тарауда параметрі бар теңдеулер мен теңсіздіктер тақырыбына теориялық және практикалық материалдар ұсынылады. Жұмыстың көлемі – 29 бет. Курстық жұмысының соңында қосымша енгізілген, оның ішінде берілген тақырып бойынша өздігінен шығаруға арналған есептер берілген.

1. ЛОГАРИФМ ҰҒЫМЫ. ЛОГАРИФМДІК ФУНКЦИЯ

1.1. ЛОГАРИФМ ТҮСІНІГІ ЖӘНЕ ЛОГАРИФМНІҢ НЕГІЗГІ ҚАСИЕТТЕРІ

Логарифм түсінігі

Анықтама. b оң санының а (а>0, a≠1) негізі бойынша логарифмі деп а санының b-ға тең дәреже көрсеткішін айтады.

а негізі бар b санының логарифмін символымен белгілейді.

Егер (а>0, a≠1, b >0) болса, онда - ол b-ны алу үшін а санының қандай да бір дәрежесі болады.

Сондықтан тепе-теңдігі логарифмнің негізгі тепе-теңдігі деп аталады. Мысалы, ,

Ондық логарифмдерді белгілеу үшін арнайы жазу қолданылған: орнына (мұндағы b-кез-келген оң сан) деп жазады.

Логарифмнің қасиеттері.

1. дәлелдеу:

2. дәлелдеу:

3.

дәлелдеу:

4.

дәлелдеу:

5.

дәлелдеу:

6.

7.

8.

Көбейтудің, бөлудің және дәреженің логарифмдері туралы теоремалар.

1°. Екі не одан да көп оң сандардың көбейтіндісінің логарифмі олардың әрбіреулерінің логарифмдерінің қосындысына тең, яғни , мұндағы а>0, a≠1, >0.

2°.Оң сандардың алымының бөліміне қатынасының логарифмі оның бөлінгішінің логарифмінен бөлгішінің логарифмін азайтқанға тең, яғни

, мұндағы а>0, a≠1, >0, >0.

3°. Дәреженің логарифмі оның негізінің логарифмінің осы дәреже көрсеткішіне көбейтіндісіне тең, яғни

, мұндағы >0, а>0, a≠1.

Ескерту. Егер , ал с-жұп сан болса, онда ,формуласы орындалады, мұндағы а>0, a≠1.

4°. b негізі бар логарифмнен a негізі бар логарифмге көшу формуласы түрінде болады, мұндағы >0, а>0, a≠1, b>0, b≠1.

5°. Егер болса, онда формула түрінде болады, мұндағы а>0, a≠1, b>0, b≠1.

6°. Егер логарифмнің негізін және логарифм астындағы санды нөлден өзгеше бірдей дәрежеге келтірсе, онда логарифмнің мәні өзгереді, яғни , мұндағы >0, а>0, a≠1.

Логарифмдік функция, оның қасиеті және графигі

1°.Логарифмдік және көрсеткіштік функциялар бір негізге ие болғанда бір-біріне кері функциялар болады.

1

3°. а>1 болғандағы функциясының қасиеті:

а) ;

б) ;

в) функция өспелі; г) егер болса, онда ;

д) егер болса, онда ; е) егер болса, онда ;

Логарифмдеу және потенцирлеу

1°. Логарифмдеу– айнымалысы бар өрнектің логарифмі айнымалылардың логарифмдерінің қосындысына немесе айырмасына келтірілетін түрлендіру.

2°. Логарифмдердің қосындысы мен қосындының логарифмін қатаң айыра білу керек. Логарифмдердің қосындысы көбейтіндінің логарифміне тең, яғни , ал қосындының логарифміне формула жоқ[4].

3°. Потенцирлеу – логарифмдеуге кері түрлендіру.

Логарифмдерді салыстыру.

Егер және болса, онда - теңсіздік таңбасы өзгереді.

Егер және болса, онда - теңсіздік таңбасы өзгермейді.

Егер және болса, онда

Егер және болса, онда

Егер және болса, онда

Егер және болса, онда

Логарифмдік теңдеулер

Логарифмдік теңдеулерді шешуде көп жағдайда логарифмді көбейтудің, бөлудің, дәреженің, түбірдің қасиеттері қолданады.

Сол қасиеттерді атап өтейік:

1°.

2°.

3°. егер

1°-3° формулаларындағы барлық логарифмдер а>0, a≠1 бірдей негізіне ие.

1. түріндегі және осы түрге келтірілетін теңдеулерді шешу.

(1) түріндегі және осы түрге келтірілетін теңдеулерді келесі әдістермен шешуге болады:

1-әдіс. (1) теңдеуінің салдары болатын (2)теңдеуін (1) теңдеуіне алмастыра отырып, оның түбірлерін тексеріп, шешу керек. Егер (1) теңдеуінің өзі кейбір логарифмдік теңдеудің салдары болса, онда түбірлерді тексеру (1) теңдеуіне алмастыру арқылы емес, сол кейбір логарифмдік теңдеуге алмастыру арқылы тексеріледі.

2-әдіс. (2) теңдеуін шешіп, оның түбірлерін не (1) теңдеуінің анықталу облысы болатын (3) теңсіздіктер жүйесіне, не (3) жүйесінің шешімі болатын теңсіздігіне алмастыра отырып шешу керек. Егер (1) теңдеуінің өзі кейбір логарифмдік теңдеудің салдары болса, онда түбірлерді тексеру (1) теңдеуінің емес, анықталу облысы берілетін теңсіздікке алмастыру арқылы тексеріледі.

3-әдіс. Бұл әдісте (1) теңдеуінің анықталу облысы (1) теңдеуін шешу барысында қарастырылады. Бұл әдісті қолдану арқылы (2) теңдеуінен және (3) теңсіздігінен құрастырылған аралас жүйесін шешеміз.

Бұл аралас жүйе (1) теңдеуіне тепе-тең болады. Егер (1) теңдеуінің өзі кейбір логарифмдік теңдеудің салдары болса, онда бұл теңдеуге тепе-тең аралас жүйесіне (2) теңдеуі ғана емес, (1) теңдеуінің емес, берілген теңдеудің анықталу облысы берілетін теңсіздіктері де кіреді.

Логарифмдік теңдеулерді шешуде үш негізгі әдіс қолданылады: потенцирлеу әдісі, яғни, теңдеуінен салдары болатын теңдеуіне көшу; жаңа айнымалыларды енгізу әдісі; логарифмдеу әдісі, яғни, теңдеуінен теңдеуіне көшу.

2. (4) түріндегі және осы түрге келтірілетін теңдеулерді шешу

түріндегі және осы түрге келтірілетін теңдеулерді шешу (1) теңдеуін шешуде қолданылатын үш әдістің кез-келгені қолданыла алады. (1) теңдеуінің анықталу облысы жазылатын теңсіздіктеріне және шарттарын қосуды ескеру керек.

Сондықтан, (4) түріндегі теңдеуді екінші не үшінші әдіспен шешуде (2) теңдеуінің түбірлерінен жүйесіне қанағаттандыратын түбірлер ғана алынады.

3.Әр түрлі логарифмдік теңдеулер

1-мысал. Теңдеуді шеш: .

Шешуі. Анықталу облысы .Бұл облыста теңдеудің екі жағындағы өрнек оң мәндер қабылдайды, яғни бұл теңдеулердің логарифмі болады. екі жағынан да ондық логарифм аламыз:

немесе . Енді деп алып келесі квадраттық теңдеуді аламыз: , мұндағы , . Бұдан берілген есеп келесі шешімдер жиына келді: ; ; Енді ; екенін анықтаймыз.

Тексеру. табылған х-тің екі шешімі де теңдеудің анықталу облысында жататындықтан және - теңдеудің түбірлері[2].

Логарифмдік теңсіздіктер

1. Айнымалысы логарифмнің астында болатын теңсіздікті логарифмдік теңсіздік деп атайды.

Мысалы, , теңсіздіктері логарифмдік теңсіздіктер, мұндағы .

2. теңсіздігі теңсіздігіне тепе-тең болады, сонда тек сонда, егер болады және теңсіздігіне тепе-тең болады, егер .

3. Логарифмдік теңсіздіктерді шешуде жалпы теңсіздіктердің қасиеттерін, логарифмдік функцияның монотондығының қасиеттерін және оның анықталу облысын ескерген жөн.

4. (5) түріндегі логарифмдік теңсіздіктерді шешу келесі екі теоремаға негізделген, мұндағы :

1- теорема. Егер болса, онда (5) теңсіздігі келесі теңсіздікке тепе-тең болады: (6)

2-теорема. Егер болса, онда (1) теңсіздігі келесі теңсіздікке тепе-тең болады: (7)

Логарифмдік теңсіздіктерді шешудің сызбасы

2-мысал.Теңсіздікті шешіңіз: .

Шешуі: Теңсіздікті келесі түрде жазып аламыз:

Берілген логарифмдердің негізіне қарап бұл теңсіздіктерді келесі теңсіздіктер жүйесіне тепе тең болады деп айта аламыз:

1) 2)

немесе

Бұл жиынның шешімі – (-2;-1,5) ( ;5) (5; ) осы берілген теңсіздіктің шешімі болады[2].

ҚОРЫТЫНДЫ

Курстық жұмысты зерттеу барысында «параметрі бар логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктер» тақырыбы мектеп оқушылары, студенттер және оқытушылар үшін де қиын тақырыптарының бірі екеніне көз жеткіздік.

Жұмысты орындау барысында курстық жұмыстың алға қойылған негізгі мақсаты жүзеге асырылып, яғни математика пәнінің «параметрі бар логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктер» тақырыбына нақты теориялық және практикалық мағлұматтар жинақталды.

Сонымен қатар, бұл мақсатты жүзеге асыру үшін қойылған негізгі міндеттер орындалды, атап айтқанда:

• логарифм және оның қасиеттері ұғымы енгізілді;

• логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктер тақырыбы қарастырылды;

• параметрі бар теңдеулер мен теңсіздіктер шешу қарастырылды;

• параметрі бар логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктер тақырыбын зерттелді.

Курстық жұмыста логарифм түсінігі, логаримдік функция, логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктер және параметрі бар теңдеулер мен теңсіздіктер қарастырылды.

Курстық жұмыстың мазмұнын кең, бай түрде жеткізу мақсатында берілген тақырыпқа байланысты мағлұматтар толығымен жинақталып, сол тақырыптарға арналған мысалдар келтірілген және оқитын студенттің көзіне ұнамды, тақырыпты түсініп, есте сақтау мен қабылдауына жеңіл болатындай етіп суреттермен көркемделген.

Бұл курстық жұмыс барлық талаптарға сай орындалған және болашақта жоғарғы оқу орындарының оқытушылары мен студенттеріне, мектептің жоғары сынып оқушыларына, сонымен қатар математиканы тереңдетіп оқитын мектеп оқушылары үшін де пайдалы оқу құралы бола алады.

ПАЙДАЛАНҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

1. Қазақстан Республикасының Президенті Н.Ә.Назарбаевтың Қазақстан халқына Жолдауы. 28.01.2011ж.

2.Литвиненко В.Н. Практикум по элементарной математике. Москва «просвещение» 1991.- 122-128 б; 169-174 б; 176-194б.

3. Цыпкин А.Г.Справочное пособие по методам решения задач по математике, «для средней школы».Москва «наука»– 1983. – 39-41б; 55-63б.

4. Крамор В.С. Задачи с параметрами и методы их решения. Москва «Оникс Мир и Образование» 2007. – 318-350 б.

5. Ястребинецкий Г.А. Уравнение и неравенства содержащие параметры. Москва «просвещение» 1972. – 36-41 б; 64-71 б.

6. Мордкович А.Г.Алгебра и начала анализа 10-11 класс.2 бөлім:задачник для общеобразовательных учреждений.- Москва «просвещение»-2003.

7. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. Москва-1975.

8. Постникова С.Я. Логарифмические уравнения на факультативных занятиях.-2002.

9. Ивлев Б.М. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализадля 10-11 классов. Москва «просвещение» 1990.

10. Дорофеев Г.В., Потпов М.К., Розов Н.Х. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы. Москва «наука» 1976.

11.Шарыгин И.Ф.,Голубев В.И. Факультативный курс по математике.Учебное пособие для 11 кл. Москва «просвещение» 1991.

12. Колмогорова А.Н. Алгебра и начала анализа. Москва «просвещение» 1991.

ҚОСЫМША ЕСЕПТЕР

1.а параметрі бар теңдеуді шешіңіз:

2.а параметрі бар теңдеуді шешіңіз:

3.а параметрі бар теңдеуді шешіңіз:

4.а параметрі бар теңдеуді шешіңіз:

5.а параметрі бар теңдеуді шешіңіз:

6.а параметрі бар теңсіздікті шешіңіз:

7.а параметрі бар теңсіздікті шешіңіз:

8.а параметрі бар теңсіздікті шешіңіз:

9.а параметрі бар теңсіздікті шешіңіз:

10.а параметрі бар теңсіздікті шешіңіз:

11. теңдеуінің бір ғана түбірі болатындай а параметрінің барлық мәндерін табыңыз.

12. теңдеуін шешіңіз.

13.а параметрінің кез-келген мәні теңдеуін қанағаттандыратындай х-тің барлық мәндерін табыңыз.

14.а –ң қандай мәнінде келесі теңдеулер жүйесінің жалғыз бір ғана шешімі бар болады:

а) б)

15.а параметрінің мәндеріне тәуелді теңсіздігін шешіңіз.

16. теңдеуінің шешімдері болмайтындай b–ның барлық мәндерін тап

17.а параметрінің қандай мәндерінде теңдеуінің түбірлерінің квадраттарының қосындысы 1-ден артық болады?