Результат. 558.

Тесты и результаты.

1) m=1.n=10; Число 55.n=11; Число 66. 2) m=3.n=36; Число 666.

[047] Найдите двузначные и трехзначные числа, сумма цифр которых не меняется при умножении этих чисел на 2, 3, 4,...,9.

Результат. Двузначных чисел четыре: 18; 45; 90; 99.

Трехзначных чисел восемнадцать: 180; 198; 297; 396; 450; 495;549; 594; 693; 792; 819; 891; 900; 909; 918; 945; 990; 999.

[048] Дано натуральное число k. Получите число m, выбрасы­вая из записи числа k цифры 0, 1,5, 9, но оставляя прежним порядок следования других цифр.

[049] Заданы натуральные числа А, В, С. Найдите минимальное натуральное число, которое нельзя представить суммой этих чисел. Сумма может состоять и из одного слагаемого; каждое из чисел должно входить в нее только один раз.

[050] В четырехзначном числе все цифры разные и отличны от нуля. Если его записать в обратном порядке, то получится число, на k меньшее первоначального. Найдите это число.

[051] Найдите все такие четырехзначные числа, квадратный корень из которых равен числу, образованному первыми двумя цифрами в сумме с квадратным корнем из числа, образованного последними его двумя цифрами.

Результаты. 1)8281; 82+9=91; 91^2=8281. 2)8464; 84+8=92; 92^2=8464.

3)9604; 96+2=98; 98^2=9604. 4)9801; 98+1=99; 99^2=9801.

[052] Найдите натуральные числа из промежутка (а; b) такие, чтобы сумма цифр искомогочисла, а также сумма цифр следующе­го заним числа делились бы на k.

Тесты и результаты. 1)а=1; Ь=1500; k=8.

79; 169; 259; 349; 439; 529; 619; 709; 789; 969; 1069; 1159; 1249; 1339; 1429; 1519.

2) a=200; b=4000; k=7. Таких чисел нет.

3)а=1;Ь=1000; к=4.

39; 79; 129; 169: 219; 259; 309; 349; 389; 439; 479; 529; 569; 619; 659; 709; 749; 789; 839; 879; 929; 969.

[053] Натуральное число называется сверхпростым, если оно остается простым при любой перестановке своих цифр. Определите, является ли данное число сверхпростым.

Тесты и результаты. 1)113- да; 2)263- нет; 3)797- нет; 4)919- да; 5)317- нет.

[054] Найдите все m - значные числа (m=2, 3,...), попадающие в интервал (k; n), которые делятся на каждую из цифр записи искомо­го числа.

Тесты и результаты. 1) m=3; (300; 400). Q=8; 312; 315; 324; 333; 336; 366; 384; 396.

2) m=4; (5100; 5200).Q=2; 5115; 5155.3) m=5: (64300; 64400).Q=3; 64332; 64344; 64368.

4) m=5; (63100; 63200).Q=5; 63126; 63132; 63144; 63162; 63168.

[055] С данным натуральным числом проделайте следующую процедуру: переставьте цифры числа в обратном порядке и вновь полученное число сложите с исходным. Процедуру повторяйте с получающимися суммами до тех пор, пока не придете к палиндро­му, то есть к числу, прямой и обратный порядок цифр в котором одинаков. Напечатайте для данного числа количество процедур и полученный палиндром.

Тесты и результаты. 1) 3185; kol=1; 8998. 2) 4127; kol=2; 25652.

3) 7129; kol=4; 665566. 4) 4267; kol=6; 293392.

[056] Напечатайте в порядке возрастания все простые несократимые дроби, заключенные между 0 и 1, знаменатели которых не превышают 7.

Результат. 1/7; 1/6; 1/5; 1/4; 2/7; 1/3; 2/5; 3/7; 1/2; 4/7; 3/5; 2/3; 5/7; 3/4; 4/5; 5/6; 6/7.

[057] Введите значение угла R в радианах. Переведите его в градусы, минуты и секунды и напечатайте результат в наглядном виде.

Тесты и результаты

1)R=1; R= 57 17'44". 2) R=6; R=343 46'28". 3) R=9, R= 51539'43".

4)R=0.6; R=34 22'38". 5) R-7; R=401 04'13". 6) R=0.5; R=28 38'52".

[058] Найдите все натуральные числа, сумма квадратов цифр которых равна некоторому k.

[059] Найдите все четверки натуральных чисел х, у, z, t, для которых выполняется равенство:
1/х +1/у +1/z 1/t=1 и при этом х<=у<=z<=t.

Результат. 1) 2; 3; 7; 42. 2) 2; 3;8; 24. 3) 2; 3; 9; 18. 4) 2; 3; 10; 15. 5) 2; 3; 12; 12 . 6) 2; 4; 5; 20.

7) 2; 4; 6; 12. 8) 2; 4; 8; 8. 9) 2; 5; 5; 10. 10) 2; 6; 6; 6. 11) 3; 3; 4; 12 .12) 3; 3; 6; 6.

13)3;4;4;6. 14)4; 4; 4,4.

[060] Даны пять различных целых чисел. Найдите среди них два числа, модуль разности которых имеет наибольшее значение.

[061] Даны пять различных целых чисел. Упорядочите их по возрастанию, используя наименьшее количество сравнений.

[062] Задано целое число z (1<=z<= 10000). Найдите наимень­шее натуральное число с произведением цифр, равным z. Если тако­го числа нет, то выведите ноль. Например, для z=10 программа пе­чатает 25, а для z=11 печатает 0.

Тест. 1) 192; 2) 75; 3) 324; 4) 360; 5) 162; 6) 1620.

Результат. 1) 388; 2) 355; 3) 499; 4) 589; 5) 369; 6) 4599.

[063] На промежутке [n; m] найдите все простые числа. Тест. Промежуток: [800; 900].

Результат. 809; 811;821; 823; 827; 829; 839; 853;857; 859;863; 877; 881; 883; 887.

[064] Дана последовательность 10,11,101,111,1011,1101.. . Найдите n-й элемент данной последовательности. Указание: Данная последовательность - множество простых чисел, записанных в двоичной системе счисления.

Тесты и результаты. 1) n=10. p=29=11101₂ 2) n=15. p=47=101111₂ 3)n=23. p=83=1010011₂ 4) n=30. p=83=1010011₂.

[065] Найдите наименьшее натуральное число, которое оканчивается на "mn", делится на "mn" и имеет сумму цифр, равную "mn", где "mn"- двузначное число, имеющее цифры m и n.

Реэультат.910. Следующее такое число 912.

[066]Даны n чисел. Установите, являются ли они последовательными членами некоторой арифметической прогрессии, запи­санными в произвольном порядке. Если да, то восстановите после­довательную запись прогрессии.

Тесты и результаты

1) n=8. 36; 24.30; 42; 39; 33; 21; 27. Да, прогрессия: 21; 24; 27; 30; 33; 36; 39; 42.

2) n=12.67;78;4;76;45;3;123;33;36;56;64;23. Числа не образуют арифметическую прогрессию.

[067] Дано натуральное число, состоящее из k цифр. Определи­те количество различных рядом стоящих пар цифр в этом числе. Например, в числе 2121312134 содержится 5 различных пар цифр: 21, 12, 13, 31, 34.

[068] Можно ли заданное натуральное число n представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Тесты и результаты. 1) n=61.Можно: 61=36+25. 2) n=24. Нельзя. 3) n=50.Можно: 50=49+1.

[069]Напечатайте на экране все двузначные простые числа, располагая числа каждого десятка на отдельной строке. Выделите те строки, в которых будет записано более двух чисел.

[070] На числовом отрезке [n; m], где n и m - натуральные, n>2, m>n, найдите все пары простых чисел - близнецов. Выпишите са­ми пары и их количество. Пара простых чисел называется близне­цами, если их разность равна двум.

Тесты и результаты. 1) [1500; 1650]. 2 пары: 1607,1609 и 1619,1621. 2) [1900; 2000]. 2 пары: 1931,1933 и 1949,1951. 3) [400; 650]. 8 пар: 419, 421; 431, 433; 461, 463; 521, 523; 569, 571; 599, 601; 617, 619; 641, 643.

[071]Определите, между какими двумя последовательными простыми числами находится данное число k.

Тесты и результаты. 1) k=450. Между 449 и 457. 2) k=1391. Между 1381 и 1399. 3) k=2173. Между 2161 и 2179.

[072] Для данного простого числа р найдите следующее за ним простое число q.

Тесты и результаты. 1)р=937;q=941. 2) р=2399;q=2411.3)р=2549, q=2551.

[073]. Для данного простого числа р найдите пять предшествующих ему простых чисел.

Тесты и результаты

1)р=1559. 1523; 1531; 1543; 1549;1553.2)р=1213.1171;1181; 1187; 1193; 1201.

3)р=2549. 2503; 2521; 2531; 2539; 2543. 4)р=5987. 5923; 5927; 5939; 5953; 5981.

5)р=4523. 4493; 4507; 4513; 4517; 4519.

[074] Сложите две обыкновенные дроби, вводя с клавиатуры их числители и знаменатели. Результат представьте в виде несократи­мой обыкновенной дроби.

[075] На числовом отрезке [m;n] найдите все натуральные чис­ла, равные сумме кубов своих цифр.

Тесты и результаты. m=100; n=1000.

1) 153=1^3+5^3+3^3=1+125+27. 2) 370=3^3+7^3+0^3=27+343+0.

3) 371=3^3+7^3+1^3=27+343+1. 4) 407=4^3+0^3+7^3=64+0+343.

[076] На числовом отрезке [m;n] найдите все натуральные чис­ла, равные кубу суммы своих цифр.

Тесты и результаты.m=100; n=1000.

Такое число одно: 512=(5+1+2)^3=8^3.

[077] Разложите натуральное число п на простые множители, учитывая кратность каждого множителя.

Тесты и результаты

1) 288= 2*2*2*2*2*3*3. 2) 810=2*3*3*3*3*5. 3) 780-2*2*3*5*13. 4) 77000=2*2*2*5*5*5*7*11.

[078] Числом Смита называется число, у которого сумма собственных цифр равна сумме цифр всех простых делителей с учетом их кратностей в разложении на простые множители. Найдите все числа Смита, не превосходящие данное n.

Тесты и результаты. n=550. Без учета простых чисел:

4; 22; 27; 58; 59; 85; 94; 121; 166; 202; 265; 274; 319; 346; 355;

378; 382; 391; 438; 454; 483; 517; 526; 535.

[079] Натуральное число n задано массивом своих двоичных цифр. Напечатайте массив двоичных цифр числа n+1.

Тесты и результаты

1)n=10001111101₂; n+1=10001111110₂. 2)n=11100010000₂; n+1=11100010001₂.

3)n=11111111111₂; n+1=100000000000₂

[080] Функцией Эйлера Ф(n) данного натурального числа n на­зывается количество натуральных чисел, которые меньше n и вза­имно простые с ним. Найдите значение Ф(n) для данного n.

Третий уровень

[081] Найдите шестизначное число, произведение которого на 2, 3, 4, 5 и на 6 записывается теми же цифрами, что и оно само, но в другом порядке.

Результат. 142857.

[082]Все натуральные числа и ноль выписаны в ряд одно за другим: 0123456789101112131415161718....Определите, какая цифра стоит на m - м месте.

Тесты и результаты. 1) m=130. 9. 2) m=200. 1. 3) m=781. 6. 4) m=23000. 0. 5) m=2000. 7. 6) m=167. 8.

7) m=1000. 9. 8) m=791. 3.

[083] В последовательности цифр a1, a2,... каждый член, начи­ная с четвертого, равен последней цифре суммы всех предыдущих. Напишите программу, которая по заданным a1, a2, аЗ и n определя­ет an (1<=n<= 1000000000). Алгоритм с количеством действий, рав­ным N, недопустим.

Тесты и результаты. 1) 1; 7; 1.n=6З. 2.n=64. 4.n=65. 8.n=66. 6.n=3165. 8.n=38640. 4.n=25265. 8.n=4. 9.

2)1;2;3.n=649.2. n=700. 6. n=32867. 8. n=32869.2

3) 3; 7; 5. n=4. 5. Все остальные члены данной последователь­ности - нули.

[084] В последовательности цифр a1, a2,... каждый член, начи­ная с (m+1)-го, равен последней цифре суммы всех предыдущих. Напишите программу, которая по заданным a1, a2, а3,...а n и n оп­ределяет an (1<=n<= 1000000000). Алгоритм с количеством дейст­вий, равным N, недопустим.

Тесты и результаты

1) m=7. 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. n=1996. 8. n=1997. 6. n=1998. 2n=1999. 4.n=2000.8 n=2001. 6. n=2002.2. n=2003.4. 2)m=9. 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1.n=10.9. n=325. 4. n=330. 2.

3)m=6. 5; 2; 4; 8; 0; 1. n=7.0. Все остальные члены данной по­следовательности -нули.

[085] В последовательности цифр каждая цифра, начиная с (n+1), равна последней цифре суммы n предыдущих цифр. Опреде­лите, когда снова получится начальная комбинация из первых n цифр, то есть найдите период. Аргументами задачи является число n и первые n членов последовательности.

Тесты и результаты. 1) n=2; последовательность: 3:4. Т=12. 3; 4; 7; 1; 8; 9; 7; 6; 3; 9; 2; 1; 3; 4;....

2) n=2; последовательность: 5; 0. Т=5; 5; 0; 5; 5; 0; 5;....

3) n=3; последовательность: 1,2; 1. Т=62.

1; 2; 1; 4; 7; 2; 3; 2; 7; 2; 1; 0; 3; 4; 7; 4; 5; 6; 5; 6; 7; 8; 7; 6; 5;2; 3; 0; 5; 8; 3; 6; 7; 6; 9; 2; 7; 8; 7; 2; 7; 6; 5; 8; 9; 2; 9; 0; 1; 0;1; 2; 3; 6; 1; 0; 7; 8: 5; 0; 3; 8; 1; 2; 1;....

4) n=3; последовательность: 1; 1; 1. Т=31.

5) n=3; последовательность: 4; 8; 1. T=124.

6) n=4; последовательность: 1; 2; 3; 4. Т=1560.

[086]Из данного числа А выберите все тройки цифр из которых составляется простое число, являющееся палиндромом.

Тесты и результаты. 1) А=51731,131; 151.

2)А=171393,131;191; 313;373.

3) А= 13591329, 131; 151; 191; 313; 353; 919; 929.

[087] Сколько натуральных чисел, не больших заданного k, имеют в своем двоичном разложении ровно три значащих нуля ?

Тесты и результаты. 1) k=40, S; 2) k=50, 13; 3) k=100, 26; 4)k=150, 36; 5)k=180,45; 6)k-200,51; 7)k=300,71.

[088] Даны n натуральных чисел. Разбейте их на группы, со­держащие числа, у которых одинаковое количество единиц в двоич­ном разложении, и упорядочите группы по возрастанию количества единиц.

Тест. n=12. Числа: 7; 16; 19; 15; 8; 5; 33; 49; 65; 4; 42; 10.

Результат. 1) 16; 8; 4. 2) 5; 33; 65; 10. 3) 7; 19; 42. 4) 15; 49.

[089] Из множества натуральных чисел a1, a2,...,ak выделите такие, которые имеют периодическое двоичное разложение. Пока­жите для каждого такого числа его двоичное разложение и найдите наименьший период.

Тест. k=6.153;381;630;292;170;327.

Результат. 1) 153=10011001₂; Т=4. 2) 292=100100100₂; Т=3. 3)170=10101010₂; Т=2.

[090] Найдите такие натуральные числа п, чтобы сумма квадра­тов k последовательных чисел, начиная с n, являлась точным квад­ратом.

[091] Дано натуральное число, содержащее k цифр. Определите количество различных рядом стоящих пар цифр в этом числе и вы пишите все различные пары в порядке возрастания. Какие пары встречаются чаще других ?

[092] Подсчитайте число "счастливых" билетов в промежутке от 000000 до 999999 и их процентное содержание от общего числа билетов.

Результат. S=55252; F=5,5252%.

[093] Найдите все трехзначные числа, равные среднему ариф­метическому чисел, полученных из каждого такого числа всеми пе­рестановками (включая тождественные) его цифр.

[094]Рассматриваются натуральные числа, в десятичной запи­си которых имеются только цифры 1, 3, 7. Все такие числа зануме­рованы в порядке возрастания. Чему равно n-е число данной после­довательности?

Тесты и результаты

1) n=8;R=33. 2)n=35;R=733. 3) n=68; R=3113. 4) n=100;R=7171. 5) n=105;R=7317. 6) n=200; R=17773.

[095] Найдите сумму всех цифр в десятичной записи числа 5²⁰⁰-7

Результат. 558.

[096] Выполните целочисленное деление длинного числа А на короткое В. Все числа натуральные.

Тест. А$="308641358025"; В$="555555".

Результат. A/B=555555.

[097] Дается система счисления с двумя цифрами 1 и 0. Весами являются последовательные числа Фибоначчи 1, 2, 3, 5, 8, 13,21,34, 55, 89,...(единица вначале - одна). Например, 1001101₂=1+3+5+21=30. Даны две строки, представляющие числа А и В. Найдите строку, представляющую число А+В. Строки могут быть столь длинны, что числа А и В превышают максимально допусти­мое целое число данного типа.

Тесты и результаты. 1) А$="100010001"; В$=" 10010001"; 64+43=107.R$="110011110".

2) A$="1111111111001110011111"; B$= "111110000011111000"; 74612+10040=84652.

R$="11001010000011010010011".

[098] Разделите два натуральных числа А и В друг на друга с выделением периода десятичной дроби, если он есть.

Тесты и результаты.1)1/6=0.1(6); 2) 67/11=6. (09); 3) 65/11=5.(9); 4)1/1010=0.0(0099); 5) 1/101=0. (0099); 6)23/56=0.410(714285); 7) 21/23=0. (9130434782608695652173);

8) 341/170=0.0(0588235294117647).

[099] Перечислите все пары простых соседних чисел, которые меньше данного k, троичные представления которых получаются друг из друга записью цифр в обратном порядке. Первая такая пара: 5 и 7.

Тест. 1с=500.

Результат. 5 и 7 (12₃ и 21₃); 31 и 37 (1011₃ и 1101₃).

[100] Найдите две последние цифры числа 2^n для произволь­ного натурального n.