ВОПРОС №19

Одномерная потенциальная яма с бесконечно высокими стенками Пусть частица совершает одномерное движение вдоль оси x в потенциальной яме, изображенной на рис. 3.1

. Математически одномерный потенциал записывается в виде: î í ì < > ¥ £ £ = 0 0 0 x a,x x a U (3.3.1) Стационарное уравнение Шредингера имеет вид: Y E= YU+ YD - = Y m Hˆ 2 2 h (3.3.2) Запишем это уравнение для области внутри ямы, где потенциальная энергия равна нулю: )x( E )x( dx d m 2Y = Y - 2 2 2 h (3.3.3) Преобразуем уравнение к виду: 0 2 2 2 = Y + Y k dx d или 0 (3.3.4)= Y k + ¢¢Y2 где ввели волновое число: 2 2 2 h (3.3.5)=mE k Решения вне ямы не существует, поскольку там потенциальная энергия равна бесконечности, и частица не может находиться вне ямы. Для учета этого обстоятельства введем граничные условия, запрещающие частице находиться на левой и правой стенках потенциальной ямы: 0 (3.3.6)= )a(Y = )0(Y Общее решение уравнения (3.3.4) представляем в виде: Bcos kx (3.3.7)+ Asinkx= Y Для определения коэффициентов в (3.3.7) используем граничные условия: 0= B = )0(Yпри x = 0, , откуда получаем коэффициент В = 0. 0 , откуда получаем, что= Asinka = )a(Yпри x = а, 0 , и=sinka pn± =ka (коэффициент 0¹A , иначе внутри вообще нет частицы), где n = 1,2,3,... Фактически полученное равенство (3.3.8)pn± =ka есть условие квантования уровней энергии в потенциальной яме с бесконечными стенками, поскольку решения отличные от нуля имеются только при определенном наборе волновых чисел. Итак, получаем окончательно решение уравнения (3.3.4): x a n pn Asin (3.3.9)= Y Эти функции являются собственными функциями гамильтониана из уравнения (3.3.2) при данных граничных условиях (3.3.6).