43.Означення і побудова кулі. Об’єм кулі. Площа сфери
Сферою називається поверхня, яка складається з усіх точок простору, що знаходяться на даній відстані (яка називається радіусом) від даної точки (яка називається центром). Відрізок, який з’єднує дві точки сфери і проходить через її центр називають діаметром сфери. Наприклад: О – центр сфери, ОА – радіус сфери, АВ – діаметр сфери.
Сферу можна отримати в результаті обертання кола навколо його діаметра.
Кулею називається тіло, утворене з усіх точок простору, що знаходяться на відстані, не більшій за дану (яка називається радіусом) від даної точки (яка називається центром). Кулю можна отримати в результаті обертання круга навколо його діаметра. Будь-який переріз кулі площиною є круг, а переріз сфери площиною є коло.
Центр круга (кола) – основа перпендикуляра, опущеного із центра кулі (сфери) на січну площину. Переріз, який проходить через центр кулі (сфери), називається великим кругом (колом). Площина (пряма), яка має з кулею (сферою) тільки одну спільну точку, називається
дотичною площиною (прямою).
Дотична площина (пряма) перпендикулярна до радіуса кулі (сфери), проведеного в точку дотику. Якщо площина (пряма) проходить через точку сфери і перпендикулярна до радіуса, проведеного в цю точку, то вона дотикається до сфери. Кульовим сегментом називають тіло, відтяте від кулі січною площиною.
Кульовий сегмент обмежений кругом, який називають основою, і сферичним сегментом. Відрізок діаметра, перпендикулярного до основи кульового (сферичного) сегмента, що міститься між основою і сферою, називають висотою кульового (сферичного) сегмента.
Рівняння
У аналітичній геометрії сфері з координатами О(x0, y0, z0) і радіусом r є геометричним місцем усіх точок (x, y, z), що
У сферичній системі координат будь-яку точку сфери можна подати як
Сфера довільного радіусу з центром у початку координат задається диференціальним рівнянням:
Це рівняння відображає факт, що вектори швидкості та координат точки, що рухається по поверхні сфери постійно ортогональні один до одного.
Формули
Площа поверхні
Замкнений об'єм
Об'єм сегмента
Момент інерції
У сфери найменша площа поверхні з-поміж всіх тіл, що замикають даний об'єм, та найбільший замкнений об'єм при даній площі поверхні. З цієї причини, сфера часто з'являється у природі: краплі води в невагомості,планети, глобули і т.ін.
44. Означення і побудова прямої призми. Основні елементи та формули
Пірамідою (n-кутною) називається многогранник, у якого одна грань є довільним n-кутником, а інші n граней – трикутники, які мають спільну вершину. N-кутник називається основою, а трикутники – бічними гранями. Спільна вершина бічних граней називається вершиною піраміди.
Висотою піраміди називається перпендикуляр, проведений із вершини піраміди на площину основи.
Наприклад: SO – висота піраміди.
Правильною називається піраміда, в основі якої лежить правильний многокутник, а висота піраміди співпадає з центром цього многокутника.
Висота бічної грані правильної піраміди, проведеної із вершини піраміди, називається її апофемою.
Наприклад: правильна трикутна піраміда SABC, SK⊥CB, SK – апофема
У правильній піраміді:
· бічні ребра рівні;
· бічні грані рівні;
· апофеми рівні;
Формули
· Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку половини периметра (півпериметру) основи на апофему: , де P — периметр, l — апофема, n — число сторін основи, b — бічне ребро, — кут при вершині піраміди
· Об'єм піраміди дорівнює одній третій добутку площі її основи S на висоту h:
45. Означення і побудова прямої призми. Основні елементи та формули
(n-кутна) – це многогранник, у якого дві грані рівні n-кутники, які лежать у паралельних площинах, а інші n граней – паралелограми.
Многокутники називаються основами призми, а паралелограми – бічними гранями. Сторони бічних граней та основ називаються ребрами призми. Кінці ребер називаються вершинами призми. Бічними ребрами називаються ребра, які не належать основам.
— твірна конуса;
— радіус основи конуса.
,
— кут при вершині піраміди
