Формули перетворення суми тригонометричних функцій в добуток

41.Циліндром

називається тіло, утворене обертанням прямокутника навколо його сторони.

Наприклад: циліндр, утворений обертанням прямокутника ОАВО1 навколо ОО1, ОО1 – вісь циліндра.

Сторони ОА і О1В описують рівні круги, які лежать у паралельних площинах і називаються основами циліндра. Радіуси кругів називаються радіусами циліндра. Сторона АВ описує поверхню, яка називається бічною поверхнею циліндра. Відрізки бічної поверхні, які паралельні і дорівнюють АВ, називаються твірними циліндра.
Висотою циліндра називається відрізок, перпендикулярний до основ, кінці якого належать основам. Висота циліндра дорівнює його твірній.
Переріз циліндра площиною, перпендикулярною до його осі, – круг, що дорівнює

основі; а переріз площиною, паралельною осі, – прямокутник або відрізок.

Осьовий переріз – прямокутник зі сторонами, що дорівнюють висоті циліндра і діаметру його основи.

Примітка. Якщо точніше, то тіло, утворене обертанням прямокутника навколо його сторони називається прямим круговим циліндром. Саме такі циліндри розглядають у шкільному курсі стереометрії і називають їх просто циліндрами. У широкому розумінні слова, циліндр – це тіло, яке складається з двох обмежених плоских областей, які можна сумістити паралельним перенесенням, і всіх відрізків, які з’єднують відповідні точки.
Площа поверхні

Площа бічної поверхні

Площа бічної поверхні тіл обертання обчислюється за їхньою розгорткою. Розгортка циліндра являє собою прямокутник з висотою і довжиною , отже площа бічної поверхні циліндра дорівнює площі його розгортки та обчислюється за формулою:

Площа загальна

Площа повної поверхні циліндра дорівнює сумі площ його бічної поверхні та його основ:

Об'єм

Візьмемо плоску фігуру, утворену такими прямими: y = R, x = 0, x = h, y = 0 та будемо обертати її навколо осі Ox. Таким чином ми отримуємо тіло обертання, утворене обертанням прямокутника навколо однієї з його сторін, тобто циліндр.

,

кінцева формула:

Де d — діаметр основи; R — радіус основи.

42. Конусом

називається тіло, утворене обертанням прямокутного трикутника навколо одного із катетів.

Якщо прямокутний трикутник SAO обертається навколо катета SO, то його гіпотенуза SA, описує бічну поверхню, а катет ОА – круг – основу конуса.

Радіус цього круга називається радіусом конуса; точка S, відрізок SA, відрізок SO, пряма SO називаються відповідно вершиною, твірною, висотою і віссю конуса.

Осьовий переріз конуса – переріз конуса площиною, яка проходить через його вісь. Усі осьові перерізи конуса є рівнобедреними трикутниками, рівними між собою.

Наприклад: ∆𝑆– осьовий переріз (SA=SB).

Переріз конуса площиною, яка паралельна площині основи конуса, є круг.

Зрізаним конусом називається частина конуса, обмежена його основою і перерізом, паралельним площин

Зрізаний конус можна одержати в результаті рівнобедреної трапеції навколо її осі симетрії або обертаючи прямокутну трапецію навколо осі, що збігається з бічною стороною трапеції, перпендикулярною до основ.

Осьовий переріз зрізаного конуса – рівнобічна трапеція.

Наприклад: ABDC – осьовий переріз.

Зрізаний конус обмежений двома кругами – його основами – і бічною поверхнею. Відстань між основами – висота зрізаного конуса.

Наприклад: ОО1 – висота, АВ – твірна.

Примітка. Якщо точніше, то тіло, утворене обертанням прямокутного трикутника навколо одного із катетів, називається прямим круговим конусом. Саме такі конуси розглядають у шкільному курсі стереометрії і називають їх просто конусами. У широкому розумінні слова, конус – це тіло, утворене всіма відрізками, які з’єднують дану точку (вершину конуса) з точками деякої обмеженої плоскої фігури (основою конуса).