Логарифмическая спираль

У логарифмической спирали все время выдерживается постоянный угол относительно оси (раковина улитки).

Первым ученым, открывшим эту удивительную кривую, был Рене Декарт (1596—1650). Спирали, встречающиеся в природе, чаще всего бывают логарифмическими. Раковины наутилуса и улитки, соцветия маргаритки и подсолнечника, шишки сосны и паутина, сплетаемая одним из наиболее распространенных пауков, эпейра. Наиболее впечатляющим примером является спиральная структура галактик. И этот факт представляет не меньшую загадку, чем проблема их строения. Галактики состоят из горячих звезд и скоплений газа, которые в результате вращения галактика распределяются вдоль ветвей логарифмической спирали. У центра галактики ветви спирали вращаются быстрее, чем на границе, то есть они должны были бы быстро раскручиваться, и даже уничтожиться. Однако галактики, как правило, сохраняют спиральную структуру, что говорит о том, что ветви вовсе не раскручиваются.

Сила звука- это количество звуковой энергии, проходящей через единицу поверхности в единицу времени. Эта физическая величина не выражает величины нашего звукового ощущения- громкости.

Если мы будем слушать звуки различных частот, но одинаковой силы, то они покажутся нам отличающимися по громкости. Такое явление объясняется разной чувствительностью нашего уха к звукам различной частоты.

В 1846г. физиолог Вебер установил зависимость между ощущением и раздражением, вызывающим это ощущение. Им было доказано, что при едва заметном приросте ощущения отношение прироста раздражения к его первоначальной величине всегда остается постоянным. Названное отношение можно выразить в процентах. Вебер заметил, что прирост громкости (слухового восприятия) получится при увеличении силы звука на 10%.

В дальнейшем (в 1860г.) уже другой ученый – Фехнер подверг закон Вебера математической обработке. По результатам исследования был сформулирован общий психофизический закон Вебера - Фехнера, согласно которому ощущение изменяется пропорционально логарифму раздражения: S=k lg J/J₀, где S – ощущение, J₀ – первоначальное раздражение, J –последующее раздражение, k – коэффициент пропорциональности.

Человеческое ухо способно воспринимать звуки, сила которых может изменяться в миллиарды раз. Единицей измерения силы звука является бел. Однако чаще всего пользуются децибелом – единицей измерения, которая в 10 раз меньше бела.

Логарифмы
и равномерная темперация

дие́з — это знак альтерации, обозначающий повышение стоящей справа от него ноты на один полутон

Ко́мма - один из наименьших музыкальных интервалов,

На протяжении многих столетий существует так называемая пифагорова комма античной гаммы.

В пифагоровой музыкальной гамме целый тон делился на два неравных полутона. А в новом, 12-ступенном строе октава стала состоять из 12 равных полутонов:

«до1» - «до-диез»; «до-диез» - «ре»; «ре» - «ре-диез»; «ре-диез» - «ми»; «ми» - «фа»; « «фа» - «фа-диез»; «фа-диез» - «соль»; «соль» - «соль-диез»; «соль-диез» - «ля»; «ля» - «ля-диез»; «ля-диез» - «си»; «си» - «до 2».

На клавиатуре фортепиано каждая октава разделена на основные тоны и «диезы» соответственно белыми и черными клавишами.

Известно, что частота верхнего звука октавы больше частоты ее нижнего звука в 2 раза, а при переходе к каждому из 12 полутонов частота увеличивается в х раз. Эти условия дают возможность составить уравнение:

х¹²=2 или х=2¹².

Но с какого звука начать? Начнем, конечно, с «ля» первой октавы. С ним связана следующая легенда. Очень давно у древнеегипетского города Фивы каждое утро этот звук издавала колоссальная статуя Мемнона. Звучавшее «ля» давало возможность музыкантам получить чистый настрой струн своих инструментов.

Позже люди научились получать звук «ля» с помощью специального прибора – камертона. Камертон служит эталоном высоты звука. Он состоит из стального стержня прямоугольного или квадратного сечения, согнутого U – образно так, что две его ветви идут параллельно. Если камертон укрепить на открытом с одной стороны деревянном ящике, полость которого настроена в резонанс с его собственным тоном, то звук будет особенно усиливаться, станет чистым и хорошо слышимым. Камертон не использовался в качестве музыкального инструмента (разве может музыкальный инструмент издавать только один звук?). Этот прибор служит для получения нормального тона для настройки музыкальных инструментов.

Итак, зная частоту звука «ля» и используя коэффициент, 212можно получить все частоты звуков первой октавы фортепиано. Например, частота звука «ля-диез» равна 440*212 =466,16 Гц

Помимо частот звуков равномерно темперированной гаммы запишем еще и их логарифмы по основанию 2, а также логарифмы по тому же основанию частот соответствующих интервалов гаммы, т.е. от звука «до» (его частота обозначена через f0) до данного звука. Любую частоту в табл. 2 обозначим через fk , таким образом, k = 0, 1…,12.

В четвертом столбце таблицы 2 на первом месте получим:( формула 1).На втором месте – логарифм отношения частот звуков «до»-«до-диез»(это так называемая малая секунда). На третьем месте - логарифм отношения частот звуков «до»-«ре» (большая секунда). На пятом - логарифм отношения частот звуков «до»-«ми» (большая терция):

Свойство логарифмов: логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел. Например, чтобы получить логарифм интервала кварта («до» - «фа»), достаточно найти разность: 8,448-8,031=0,417

Итак , логарифмы отношений частот весьма точно совпадают с разделением октавы на интервалы , равные 1/12 ,которые соответствуют полутонам. Таким образом, два равных полутона стали почти точно составлять целый тон.

С помощью 12-ступенной шкалы можно построить интервалы, которые наиболее распространены в музыке. Среди них октава, квинта, кварта, секста, терция, секунда, септима.

Измерение интервалов в долях такой крупной единицы, как октава, устраивает музыкантов, но далеко не достаточно для акустиков. Они придумали себе более мелкую единицу.

Такой единицей, по предположению английского акустика Эллиса, стал цент, равный 1/100 темперированного полутона или 1/1200 октавы. Применение центов используется в музыкальных опытах, которые приводят к созданию все новых и совершенных музыкальных инструментов.

Если принять в качестве стандартной высоты основного тона музыкальной настройки частоту звука «ля»,равную 440 Гц, то частоту любого другого тона можно выразить следующими формулами:

В октавах (формула 2)

В полутонах (формула 3(вписать формулы)

В центах (формула 4)

Надо сказать, что он не сразу был принят музыкантами. Да и математики того времени возражали против нововведения. Музыкантов не убеждала даже возможность модулирования(перехода в другую тональность) в новом строе. Они предпочитали держаться за старые способы настройки инструментов. А математикам казалась необоснованной важная роль логарифмов в расчетах гаммы. Но всех сомневающихся убедил гениальный немецкий музыкант Иоганн Себастьян Бах.