Авторы: 3. А. Михайлова, Е- А. Носова, А. А. Столяр. М. Н. Полякова,
А М. Вербенец и др.
Рецензенты: Р. Ф. Малых, канд. психологически* наук, доцент; Г. Н. Гришкова. кандидат педагогических наук.
Научные редакторы: М. И. Калинина, кандидат педагогических наук, доцент, О. А. Граничина, кандидат физико-математических наук, доцент.
Допущено Учебно-методйческим объединением п0 направлениям педагогического образования в качестве учебно-методического пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 540600 (050700) ПедаГ°гика
Михайлова 3. А. и др.
М69 Теории и технологии математического ^ви™яЛсдете.Ий,Д°~ школьного возраста.-СПб.: «ДЕТСТВО-ПР£сс-»> 20U8-- J84с-> ил л.
ISBN 978-5-89814-441-8
В учебном пособии представлены теоретические основы и современные технологии развития у детей дошкольного возраста ло гико-математических представлений. Раскрыты предматематиче-ское и предлогическое содержание, педагогические технологии развития у детей представлений (о свойствах и отношениях предметов, пространственно-временных категориях, о числах, связях и зависимостях). Среди педагогических технологий особо выделена про блемно-игровая технология как наиболее эфФективнаяв Реализа" ции идей развивающего образования.
Для студентов факультетов дошкольного образования педагогических университетов, институтов, преподавателеи педагогиче ских колледжей, магистров и аспирантов.
Глава 1. Исторический обзор и современное состояние теории
и технологий развития математических представлений у детей дошкольного возраста......................................................... 13
Михайлова 3. А.
1.1. Истоки методики развития математических представ-
лений у детей дошкольного возраста и этапы ее становления................................................................................. 13
1.2. Теории и методика математического развития детей
дошкольного возраста (20—50-е гг. XX в.) (второй этап развития методики).......................................................... 21
1.3. Научно обоснованная дидактическая система форми-
рования элементарных математических представ- лений в 50—60-е гг. XX в. (третий этап развития методики)...................................................................................... 30
1.4. Психолого-педагогические исследования 60—70-х гг.
XX в. и передовой педагогический опыт в области теории и технологий математического развития детей............................................................................................... 35
1.5. Современное состояние теории и технологии
математического развития детей дошкольного возраста........................................................................................ 36
Глава 2. Теоретические основы развития математических
представлений у дошкольников........................................................ 50
3.9. Освоение простейших зависимостей и закономерно-
стей в дошкольном возрасте.................................................. 236
Полякова М. Н.
3.9.1. Развитие понимания сохранения количества и вели- чины у детей дошкольного возраста..................................................................... 236
Михайлова 3. А.
1,9*2. Особенности и методика освоения детьми 4—6 лет
последовательности действий 250
ГлЛва 4. Организация процесса математического развития детей дошкольного возраста......................................................................... 259
Михайлова 3. А., Полякова М. Н.
4.1. Современные технологии логико-математического
4.2. Моделирование как средство логико-математического
развития детей дошкольного возраста............................... 277
4.3. Реализация идеи интеграции в логико-математиче-
ском развитии дошкольников................................................ 307
11оликова М. Н.
4.4. Развивающая среда как средство развития математи-
ческих представлений дошкольников 322
Вербенец А. М.
4.5. Использование познавательных книг математического
содержания и рабочих тетрадей в логико-матема- тическом развитии дошкольников....................................... 337
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Михайлова 3. А., ХарькоТ. Г., Чеплашки- на И. Н. Конспекты логико-математических игр для детей 4—5 лет................................................................................. 353
11РИЛОЖЕНИЕ 2. Михайлова 3. А. Развивающие математиче- ские игры для детей дошкольного возраста. Классифи- кация по цели и способу достижения результата........................ 370
11 РИЛОЖЕНИЕ 3. Словарик основных понятий............................. 372
ЛИТЕРАТУРА 376
Предисловие
Преобразования, происшедшие за последние годы в сфере образования России, вызвали необходимость существенных изменений в содержании изучаемых студентами учебных дисциплин и технологиях преподавания их.
В учебном пособии «Теории и технологии математического развития детей дошкольного возраста» для студентов факультетов дошкольного образования педагогических факультетов раскрыта система знаний о закономерностях математического развития детей, видах познавательной деятельности как средствах развития математических представлений у детей, представлены современные технологии. Система знаний, которыми овладевают студенты, включает: понятийный аппарат, теоретические положения (утверждения и разъяснения), различные взгляды на одну и ту же проблему, технологии и т. д.
Учебное пособие разработано на основе воззрений современной гуманистической педагогики, психологии и педагогики развития. В нем учтены принципы создания целесообразной педагогической среды, стимулирующей развитие, закономерности накопления ребенком логико-математического опыта в ходе различных видов деятельности, свойственных детям дошкольного возраста.
В основу конструирования данного учебного пособия и учебно-методических разработок для студентов положена структурно-логическая (поэтапная) технология обучения в ВУЗе.
Принципиальные положения, на основе которых сконструировано содержание учебного пособия, представлены целостной интеграцией содержания учебной дисциплины и технологий с идеями гуманизации (индивидуально-личностной, культурологической).
Содержание образовательного процесса излагается в учебном пособии по общепринятой при изучении педагогических дисциплин логике. В учебном пособии реализован внутридисциплинар-ный вариант интеграции, что обеспечивает интенсификацию обучения (Т. А. Стефановская, 2000 г.). Излагается теория вопроса и вслед за этим — содержание и методика реализации в практике современного дошкольного образовательного учреждения технологий логико-математического развития детей: традиционных, современных, авторских; их вариативность.
Логика изложения содержания, принятая авторами учебного пособия, постепенно подключает студентов к рассматриваемым в учебнике проблемам. Первоначально изучаются вопросы истории становления теории и методики развития математических представлений у дошкольников, ее современное состояние, затем происходит переход к основной части учебной дисциплины, которая представляет собой теоретические основы содержания обучения и развития у детей математических представлений и технологии реализации математического развития в практике дошкольного воспитания. Завершается изучение учебной дисциплины освоением студентами вопросов организации процесса развития математических представлений в дошкольном возрасте, познавательного и личностного развития ребенка и изучением методических аспектов этой деятельности.
Логика изложения учебного содержания
Вопросы
Студент познает
Исторические этапы становления теории и методики развития математических представлений у детей дошкольного возраста
. Истоки методики
/ Становление и развитие теории и / методики на протяжении XX века / t (содержательный аспект)
/ Роль отдельных педагогов-исследователей в развитии методики (Е. И. Ти-
__ v хеева, Ф. Н. Блехер, Л. В. Глаголева
и др.); «школ» и направлений: сенсорного воспитания детей (М. Монтессори,
\ Л. А. Венгер и др.)
. \ Изучение теории и методики развития \ количественных и числовых представ-\ лений у детей в процессе обучения \ (А. М. Леушина)
V Основные идеи монографического и вычислительного методов обучения
Современное состояние теории и методики развития математических представлений у детей дошкольного возраста
/ Специфика математических представ-/ лений ребенка дошкольного возраста
/ Обоснование принципов отбора со-/ / держания обучения
/ Ориентировка на возрастные возможности освоения детьми предматемати-
—*• ческого и предлогического содержания
\ Общая характеристика концепту-\ альных подходов к содержанию и ме-\ V тодам развития у детей математиче-\ ских представлений
\ Технологии, обеспечивающие станов-\ ление и развитие логико-математического опыта ребенка
Вопросы
Студент познает
Предмет учебной дисциплины
Обусловленность отбора содержания и проектирования технологий развития математических представлений у детей дошкольного возраста основны-/ ми закономерностями их индивиду-/ ального развития, данными диагно-/ стики
Содержание математического развития детей
\ Связь учебной дисциплины «Теория и \ технологии математического развития дошкольников» с другими науками: детской психологией и дошкольной педагогикой
Закономерности познания детьми дошкольного возраста свойств предметов и отношений между ними. Современные технологии развития и обучения
Особенности познания детьми разме-/ ра, формы, массы предметов. Чувст-/ венное и логическое познание
/ Сравнение как один из логических способов познания
Освоение свойств и отношений пред-—* метов в играх и упражнениях с блоками Дьенеша
\^ Схематические и знаково-символиче-ские способы познания и отражения \ отношений
\ Настольно-печатные развивающие * игры. Роль взрослого в развитии у детей умений решать познавательные задачи
Вопросы
Студент познает
Освоение пространственно-временных отношений в дошкольном возрасте
Генезис пространственных представлений в дошкольном возрасте. Содержание ориентировки в пространстве. Восприятие времени детьми дошколь-/ ного возраста
__ „ Игры и упражнения на развитие
1 пространственной ориентации
V Моделирование как средство освое-\ \ ния пространственных и временных \ отношений
Технологии развития временных и пространственных представлений
Развитие количественных представлений у детей. Современные технологии обучения
Особенности познания детьми коли-^ чественных и числовых отношений
Концепции развития числовых пред-—* ставлений у детей
Цветные счетные палочки Кюизенера \ как дидактическое средство познания \ чисел и освоения деятельности счета \ детьми дошкольного возраста
Моделирование числовых отношений, использование знаковых систем
Вопросы
Студент познает
Освоение простейших функциональных зависимостей в дошкольном возрасте
Содержание зависимостей и особен-. ности освоения их детьми
I Познание детьми инвариантности на
/ примере изменения объема жидкости, массы, количества пластичных и
—* дискретных материалов. Самостоятельное экспериментирование детей с
. этими материалами. Игры-экспери ментирования
* Освоение детьми закономерности следования. Решение логических задач и выполнение алгоритмов. Игры типа «Вычислительные машины»
Организация процесса логико-математического развития и воспитания детей. Методическое руководство процессом развития логико-математических представлений у детей. Содержание и тео ретические основы
Проектирование процесса развития и . обучения детей
/ Предметно-развивающая среда — ис-/ * точник и средство развития математи-/ ческих представлений у детей
Выбор эффективных средств реализации процесса развития математических представлении у детей
^\ Формы организации детской деятель-\ ности
\ Интеграция разных видов детской деятельности
Предложенная логика изучения учебного курса позволяет избежать дублирования изучаемого материала (от изучения вопросов истории — к изучению содержания и методов; затем — к организации обучения и вопросам личностного и познавательного развития детей в деятельности).
В общем процессе развития и саморазвития студентов в ходе освоения данной учебной дисциплины значимым является постепенное становление у них педагогической рефлексии. Студенты не только осваивают технологии развития логико-математических представлений у детей, но и овладевают умением самостоятельно адаптировать их к имеющимся условиям, оценивать их результативность. Осмысление методологических основ, подходов к конструированию содержания и технологий в условиях дифференцированного и индивидуализированного обучения детей дает возможность студенту накапливать собственный педагогический опыт, оценивать результативность своей педагогической деятельности, анализировать изменения, происходящие в современном образовании.
Круг читателей учебного пособия «Теории и технологии математического развития детей дошкольного возраста» весьма обширен. Это:
• студенты факультетов дошкольного образования педагогических институтов и университетов;
• преподаватели соответствующих учебных заведений (которые могут уточнить концепции развития математических представлений у детей дошкольного возраста; сопоставить и сравнить взгляды авторов разных учебных пособий; утвердиться в собственных позициях и т. д.);
• магистры, аспиранты педагогических высших учебных заведений;
• преподаватели педагогических колледжей;
• воспитатели детских садов, старшие воспитатели (они будут читать книгу с целью освоения теоретических основ процесса развития логико-математических представлений у детей, подходов к реализации современных технологий обучения и воспитания; выбора необходимых для конкретной реализации содержания обучения и развития дидактических средств, методов и приемов и т. д.).
Студентам, обучающимся по данному учебному пособию, рекомендуется пользоваться хрестоматией «Теории и технологии математического развития детей дошкольного возраста» (Сост.: 3. А. Михайлова, Р. Л. Непомнящая, М. Н. Полякова.— М.: Центр педагогического образования, 2008 г.).
Глава 1. Исторический обзор и современное состояние теории и технологии развития математических представлений у детей дошкольного возраста
Первый закон истории — бояться какой бы то ни было лжи, а затем — не бояться какой бы то ни было правды.
Марк Туллий Цицерон
При современном содержании образования, отражающем новые тенденции развития педагогической теории и практики, важно ориентироваться в вопросах истории становления методики развития у детей математических представлений. Ретроспективный взгляд на проблему (XIII—XIX вв.) поможет освоить истоки методики, ее развитие в разные периоды и аналитически оценить современное состояние.
1.1. Истоки методики развития математических представлений у детей дошкольного возраста и этапы ее становления
На длительном пути становления методики развития математических представлении у детей дошкольного возраста предосно-ву ее как научной дисциплины составляло устное народное творчество: разнообразные сказки, считалки, поговорки, пословицы, загадки, шутки и т. д. В ходе их освоения дети не только овладевали пересчетом предметов, но и умением воспринимать и осознавать изменения, происходящие в окружающей их действительности: природные, цветовые, пространственные и временные; количественные, изменения по форме, размеру, расположению, пропорциям. Это обеспечивало естественное развитие у детей некоторых представлений, смекалки и сообразительности.
В 1574-м году первопечатник Иван Федоров в созданной им печатной учебной книге — «Букваре» предложил упражнения для обучения детей счету. В устном народном творчестве тех лет также отражены взгляды педагогов и родителей на математическое развитие ребенка Взгляды педагогов XIII—XIX вв. на содержание и методы развития у детей математических представлений (первый этап развития методики — эмпирический)
В XIII—XIX вв. вопросы содержания и методов обучения детей дошкольного возраста арифметике и развития представлений о размерах, мерах измерения, времени и пространстве нашли отражение в передовых педагогических системах воспитания, разработанных Я. А. Коменским, И. Г. Песталоцци, К. Д. Ушинским, Л. Н. Толстым и др.
Педагоги той эпохи под влиянием требований развивающейся практики пришли к выводу о необходимости подготовки детей к усвоению математики в школе. Ими высказывались определенные предложения о содержании и методах обучения детей, в основном в условиях семьи. Надо сказать, что специальных пособий по подготовке детей к школе они не разрабатывали, а основные свои идеи включали в книги по воспитанию и обучению.
Чешский мыслитель-гуманист и педагог Я. А. Коменский (1592—1670) в программу по воспитанию дошкольников «Материнская школа» (1632) включил арифметику: усвоение счета в пределах первых двух десятков (для 4—6-летних детей), определение большего и меньшего из них, сравнение предметов и геометрических фигур (по выбору), изучение общеупотребляемых мер (дюйм, пядь, шаг, фунт).
И. Г. Песталоцци (1746—1827), швейцарский педагог-демократ, указывал на недостатки существующих в то время методов обучения, в основе которых лежит зубрежка, и рекомендовал учить детей счету конкретных предметов, пониманию действий над числами, умению определять время. Предложенные им методы обучения предпо переход от простых элементов к более сложным, широкое использование наглядности, облегчающей усвоение детьми чисел. Идеи И. Г. Песталоцци послужили в дальнейшем (середина XIX в.) основой реформы в области обучения математике в школе.
Передовые идеи в обучении детей арифметике до школы высказывал русский педагог-демократ, основоположник научной педагогики в России К. Д. Ушинский (1824—1871). Он предлагал обучать детей счету отдельных предметов и групп, действиям сложения и вычитания, формировать понимание десятка как единицы счета.
Писатель и педагог Л. Н. Толстой издал в 1872 году «Азбуку», одна из частей которой называлась «Счет». Критикуя существующие методы обучения, Л. Н. Толстой предлагал учить детей счету «вперед» и «назад» в пределах сотни и нумерации, основываясь при этом на детском практическом опыте, приобретенном в игре.
Методы развития у детей представлений о числе и форме нашли свое отражение и дальнейшее развитие в системах сенсорного воспитания немецкого педагога Ф. Фребеля (1782—1852), итальянского педагога Марии Монтессори (1870—1952) и др.
В этих классических системах сенсорного воспитания специально рассматривались вопросы ознакомления детей с геометрическими формами и величинами; обучения счету, измерениям, составлению рядов предметов по размеру, весу и т. д. Ф. Фребель видел задачи обучения счету в усвоении детьми дошкольного возраста ряда чисел. Им созданы знаменитые «Дары» — специальное пособие для развития конструктивных навыков в единстве с познанием чисел, форм, размеров, пространственных отношений. Ф. Фребель был убежден в том, что развитие в дошкольном возрасте «пространственного» воображения и мышления создает условия для перехода к усвоению геометрии в школе.
М. Монтессори, опираясь на идеи саморазвития и самообучения, признавала необходимым создание специальной среды для освоения чисел, форм, величин, а также письменной и устной нумерации. Она предлагала использовать для этого специальный материал: счетные ящики, связки цветных бус, нанизанных десятками, счеты, монеты и многое другое.
Наиболее результативно педагогическая деятельность М. Монтессори протекала в первой половине XX в. Использование в обучении и воспитании ребенка материалов по развитию у детей математических представлении строилось на определенном стиле взаимодействия взрослого с ребенком; необходимости наблюдения за поведением детей в условии специально созданной среды; организации совместной с ребенком свободной работы и др. Система М. Монтессори предусматривает развитие у ребенка сенсомоторной сферы и в дальнейшем — интеллекта. Особо выделяемый по своей значимости «золотой» математический материал сначала осваивается ребенком как набор бус в разной ко-личественности, затем — в символах (цифрах), после этого — как средство освоения умений сравнивать числа. Таким образом, десятичная система счисления представляется ребенку зримо и осязаемо, что ведет к успешному овладению арифметикой.
Обширно представлен в системе М. Монтессори раздел «Логика и счет»: изучение фигур, размеров, способов измерения, проекции, моделирования множеств. Наиболее интересны следующие пособия: «Фигуры из гвоздиков», «Математическое солнце», «Сложи узор», «Объедини множества».
В целом обучение математике по системе М. Монтессори начиналось с сенсорного впечатления, затем осуществлялся переход к пониманию символа (т. е. от конкретного — к абстрактному), что делало математику привлекательной и доступной даже для 3—4-летних детей.
Итак, передовые педагоги прошлого, русские и зарубежные, признавали роль и необходимость первичных математических знаний в развитии и воспитании детей до школы, выделяли при этом счет в качестве средства умственного развития и настоятельно рекомендовали обучать детей ему как можно раньше, примерно с трех лет. Обучение понималось ими как «упражняемость» в выполнении практических, игровых действий с применением наглядного материала, использование накопленного детьми опыта в различении чисел, времени, пространства, мер в разнообразных детских деятельностях.
Обзор школьных методов обучения арифметике (XIX — начало XX в.). Влияние их на становление методики развития математических представлений у детей дошкольного возраста
На длительный и сложный процесс развития методики обучения детей дошкольного возраста математике оказывал влияние передовой опыт практической деятельности воспитателей маленьких детей, учителей начальных школ, педагогов семейного воспитания, результаты опытно-экспериментальной деятельности, научные исследования и др. Становление методики развития элементарных математических представлений в XIX — начале XX вв. происходило также под непосредственным воздействием идей реформирования школьных методов обучения арифметике. Особо выделились два направления: с одним из них связан так называемый метод изучения чисел, или монографический метод, а с другим — метод изучения действий, который назвали вычислительным.
Согласно методу изучения чисел, в разработке немецкого методиста А. В. Грубе преподавание арифметики осуществлялось «от числа к числу». Каждое из чисел, якобы доступное «непосредственному созерцанию», сравнивалось с каждым из предыдущих чисел путем установления между ними разностного и кратного отношения. Действия как бы сами вытекали из знания наизусть состава чисел. Монографический метод получил определение метода, описывающего число.
В процессе изучения каждого числа материалом для счета служили пальцы рук, штрихи на доске или в тетради, палочки. Например, при изучении числа 6 предлагалось разложить палочки по одной. Задавались вопросы: «Из какого количества палочек составилось число?», «Отсчитайте по одной палочке, чтобы получилось шесть. Во сколько раз шесть больше одного?», «Какую часть шести составляет одна палочка?», «Сколько раз одна палочка заключается в шести?» и т. д. Потом изучаемое число точно так же сравнивалось с числом 2, предлагалось разложить шесть палочек по две и отвечать на вопросы: «Сколько двоек в шести?», «Сколько раз число два содержится в шести?» и т. д. Таким же образом данное число сравнивалось со всеми предшествующими (3, 4, 5). После каждой группы таких упражнений действия записывались в виде таблицы, результаты которой заучивались наизусть, с тем чтобы в дальнейшем производить арифметические действия по памяти, не прибегая к вычислениям.
В 90-х гг. XIX в. под влиянием критики монографический метод обучения арифметике был несколько видоизменен немецким дидактом и психологом В. А. Лаем. Книга В. А. Лая «Руководство к первоначальному обучению арифметике, основанное на результатах дидактических опытов» была переведена на русский язык.
Как же происходило обучение по Лаю? В. А. Лай считал, что чем отчетливее, яснее и живее наблюдение вещей, тем отчетливее, яснее и живее возникают числовые представления. Детям показывали числовую фигуру. Например, фигура, обозначающая число 4, выглядела так: один круг — в левом верхнем углу, второй — в левом нижнем углу, третий — в правом верхнем углу и четвертый — в правом нижнем углу. Дети рассматривали фигуру, а затем описывали с закрытыми глазами расположение точек. За описанием следовала зарисовка данной числовой фигуры и составление ее на счетах.
После создания образа числа на основе восприятия дети переходили к изучению способов его получения. Например, педагог закрывал три круга из четырех (дети воспринимали один верхний левый), затем он закрывал и этот круг, а первые три открывал. Затем он закрывал два верхних круга, потом — два нижних и т. п. Результаты каждого действия описывались и объяснялись: один да три — это четыре; три и один — это четыре; два и два будет четыре. После этого на изученный состав числа 4 решались задачи.
По этому методу дети воспринимали и запоминали числа, предлагаемые им в виде квадратных числовых фигур.1 Последовательность обучения по видоизмененному монографическому методу состояла в следующем: а) описание, наблюдение и составление очередной числовой фигуры; б) запоминание состава числа; в) упражнения в арифметических действиях.
Однако уже в 70-х гг. XIX в. стали появляться противники монографического метода. Недовольство методом нарастало, и в 80—90-х гг. русские математики выступили с его резкой критикой, противопоставляя ему метод изучения действий, или, иначе, вычислительный метод.
1 Рисунки числовых фигур представлены в хрестоматии к данному учебному пособию: (Теории и технологии математического развития детей дошкольного возраста».
Несмотря на критику монографического метода, непризнание его в русских школах, поклонник этого метода Д. Л. Волковский издал книгу «Детский мир в числах» (1912). Книга иллюстрировалась числовыми фигурами В. А. Лая, карточками и чертежами.
Она была предназначена не только для начальной школы, но и для приготовительных классов женских гимназий, детских садов и домашнего обучения. Таким образом, монографический метод проник в детский сад и получил там широкое распространение, по нему сравнительно долго строилось обучение детей счету.
В одном из научных исследований того времени (см.: К. Ф. Ле-бединцев «Развитие числовых представлений в раннем детстве».— Киев, 1923) автор, основываясь на наблюдениях за детьми, утверждает, что первые числовые представления ребенка — результат «целостного» восприятия им множеств, различения групп предметов (до 4—5). Освоение умений сосчитывать эти небольшие совокупности признавалось необязательным, а численность групп из более чем 5 элементов устанавливалась с помощью счета.
Другой метод — метод изучения действий (вычислительный) — предполагал обучение детей вычислениям и пониманию смысла арифметических действий. Обучение при этом строилось по десятичным концентрам. В пределах каждого концентра изучались не отдельные числа, а счет и действия с числами.
Оба метода (и монографический, и вычислительный) сыграли положительную роль в дальнейшем развитии методики, которая вобрала в себя приемы, упражнения, дидактические средства одного и другого методов.
Математическое развитие дошкольников средствами «веселой» занимательной математики
В конце ХГХ — начале XX вв. были широко распространены идеи обучения математике без принуждения и дидактичности, забавно, но без излишней занимательности. Математики, психологи, педагоги разрабатывали математические игры и развлечения, составляли сборники задач на смекалку, преобразование фигур, решение головоломок (В. А. Латышев, Н. Н. Аменицкий, И. П. Сахаров, А. П. Доморяд, В. Арене и др.).
Авторы стремились придать четкую логику построения, необычность задачам-шуткам, арифметическим ребусам, задачам-головоломкам, задачам на деление целого на части и т. д. В ходе решения таких задач развиваются способность к правильному мышлению, логичность и последовательность мысли, острый ум и смекалка. Задачи на сообразительность, сметливость учат детей применять имеющиеся у них знания к различным случаям жизни, приучают к самоконтролю, а главное — способствуют выработке у детей умений самостоятельно искать путь решения.
Ряд книг был издан специально с целью развития способностей детей, в частности «Забавная арифметика» Н. Н. Аменицкого и И. П. Сахарова. В ней предлагалось живое и забавное решение различных практических задач и вопросов, что стимулировало проявления детской самодеятельности.
Широко применялись в обучении и развитии детей математические игры, в ходе которых был необходим подробный и четкий анализ игровых действий, возможность проявить смекалку в ходе поисков, самостоятельность. Значение математических игр рассматривалось авторами с позиций развития у детей интереса к изучению математики, становления умственных способностей, смекалки и сообразительности, находчивости, волевых черт характера, а также приучения детей к умственному труду.
Резюме
Для первого этапа становления методики развития математических представлений у детей дошкольного возраста характерно следующее.
Выдвижение и обоснование идей развития у детей количественных, геометрических, пространственных и временных представлений; создание с этой целью предметно-игровой среды (М. Монтессори, Ф. Фребель) и разработка методик овладения действиями сравнения, деления на части, сосчитыва-ния, измерения и др.
Активный поиск методов обучения и развития детей дошкольного и начального школьного возраста. Ж.1- Интерес к занимательной математике (прикладной) как средству развития детских интересов, приобщения детей к осуществлению умственных усилий, «думанию» и сообразительности.
Щ Отсутствие теоретических и методических разработок, представляющих собой целостную систему развития математических способностей детей дошкольного возраста.
Литература
1. Аменицкий Н. Н., Сахаров И. П. Забавная арифметика. — М.: Наука, 1992.
2. Игры со спичками. Задачи и развлечения. / Сост.: Улиц-кий А. Т., Улицкий Л. А. — Минск: Вуал, 1993.
3. Литературный материал с математическим содержанием. / Сост.: Михайлова 3. А., Непомнящая Р. Л. — СПб.: ЦВПО, 2005.
4. Михайлова З.А. Игровые занимательные задачи для дошкольников.— М.: Просвещение, 1989.
5. Открываю математику. / Авт.-сост. Калинина М. И. и др.— М.: Просвещение, 2005.
6. Теории и технологии математического развития детей дошкольного возраста. Хрестоматия / Сост.: 3. А. Михайлова, Р. Л. Непомнящая, М. Н. Полякова. — М.: Центр педагогического образования, 2008.
7. Упражнение с Монтессори-материалом. Дом Марии Монтессори.— Рига—Москва: Педагогический центр «Эксперимент», 1998.
1.2. Теории и методика математического развития детей дошкольного возраста (20—50-е гг. XX в.) (второй этап развития методики)
В 20-е гг. XX в. резко расширилась сеть дошкольных учреждений, была создана принципиально новая система общественного дошкольного воспитания. Обсуждались проблемы отбора содержания, методов развития математических представлений у детей как основа освоения математики в школе. В эти годы Е. И. Тихее-вой, Л. В. Глаголевой, Ф. Н. Блехер и другими разрабатывались методические пособия (илл. 1, 2), программы, игры и дидактические материалы, способствующие математическому развитию дошкольников.
Е. И. Тихеева в 20—30-е гг. XX в. четко определила свои позиции в области математического развития детей дошкольного возраста. Ею разработаны новые методы и приемы формирования
основ математических представлений у детей; уточнено содержание обучения, созданы дидактические средства: наглядные материалы, учебные пособия, методические пособия для воспитателей.
Во взглядах Е. И. Тихеевой отражены общепедагогические воззрения того
времени. Она считала центром воспитания и обучения накопление детьми восприятий, усвоение ими научных истин путем самодеятельности, поощрение пытливости их ума, создание условий, при которых ребенок самостоятельно находит то, что ему нужно, и это нужное усваивает.
При выработке собственных воззрений Е. И. Тихеевой использованы результаты работ зарубежных педагогов: И. Г. Песталоцци, Ф. Фребеля, Марии Монтессори, а также практика работы воспитателей отечественных детских садов.
Позиция Е. И. Тихеевой раскрыта и обоснована в предложенном ею «естественном» пути развития детей. «Естественный» путь развития понимался ею как единственный путь, ведущий к нормальному развитию числовых и в целом математических представлений у детей.
Этот путь обеспечивал развитие математических представлений в соответствии с возрастными и индивидуальными возможностями, запросами каждого ребенка. С другой стороны, «естественный» путь понимался как соответствующий «данному моменту» развития ребенка: сложившейся ситуации и непосредственно в ней возникшему интересу к сравнению, измерению, счету, составлению арифметических примеров и задач, делению предмета на доли. В целом условием развития ребенка Е. И. Тихеева считала сформированность соответствующих предпосылок. Поэтому она была категорически против навязывания знаний. По ее мнению, педагог должен всегда задавать себе вопрос: готов ли ребенок к восприятию тех или иных знаний (например, о числе, цифрах и т. д.)? И только в случае готовности ребенка предлагать ему самостоятельно воспринимать то, до чего он дорос.
«Естественный» путь развития ребенка в области математики протекает в самодеятельности, которая понимается как активное участие ребенка во всем, что его интересует. Для организации самодеятельности необходимо включение детей в деятельное наблюдение жизни, что поощряет пытливость их ума; создание условий развития; руководство развитием; обучение. Самодеятельность организуется с учетом индивидуальных особенностей детей. Для тех из них, кто не может «мимоходом в самодеятельности» освоить материал, необходимо создать специальные условия.
Одним из основных условий освоения математики Е. И. Тихеева считала наличие необходимых пособий, позволяющих ребенку выбирать те объекты, которые его интересуют, и активно действовать. По мнению Тихеевой, наглядный материал должен быть простым и стимулировать детей к самостоятельным занятиям. Взрослый организует с детьми игры-занятия и вносит разнообразие в игру детей. Он ставит перед детьми познавательную задачу, лично участвует в игре до тех пор, пока дети не начнут самостоятельно пользоваться материалом и решать поставленные в процессе игры задачи.
Основная задача педагога при руководстве игрой — вести ее так, чтобы получить наибольший эффект. Индивидуальные занятия Е. И. Тихеева считала более значимыми и ценными, нежели коллективные.
Высказанные ею общие положения сводятся к следующему. • Целесообразна серьезность подхода к выбору методических приемов в силу слабой изученности закономерностей развития числовых представлений у детей.
• Особое значение в ряду образовательных средств имеют игры-занятия.
• Правомерен отказ от формального обучения счету, счислению вне детских запросов, возможностей, в отрыве от реальной жизни.
• Играя, ребенок самостоятельно научится считать. Важно, чтобы взрослые были при этом его незаметными помощниками.
• Освоение счета и счисления осуществляется «естественным» путем в условиях активности самого ребенка, проявления им самостоятельности в самостоятельной деятельности.
• Ребенок извлекает числовые представления из жизни (природного окружения, быта), что развивает наблюдательность, способствует закреплению представлений и навыков в дальнейших играх-занятиях с детьми.
• Полезно предлагать ребенку доступные познавательные задачи (например: как определить, поместится ли шкаф в простенок), включать их в естественную беседу.
Е. И. Тихеева считала, что обучение математике должно быть игровым. Такое обучение удовлетворяет потребность детей в движениях, стремление мыслить, самостоятельно добывать и применять знания. Обучение, одной из форм организации которого являются игры-занятия, соответствует этим требованиям.
Разработанные Е. И. Тихеевой игры-занятия (ранее называемые ею задачами) структурно подразделяются на части. Первая часть — это игры на познание количественных соотношений. Они предназначены для формирования у детей общих представлений о количестве, ориентировки их в длине, ширине, высоте, расположении предметов в пространстве.
Игры и упражнения второй части — «Роль внешних чувств при образовании числовых представлений» — направлены на развитие барического и термического чувств, умений воспринимать количество на слух, по осязанию, например игры с однородными и разнородными по составу материалами (камыш, кирпичи, кубы, мешочки с песком или опилками). Контролирующим аппаратом являются чашечные весы.
Третья часть — «Упражнения в счете до 10 и знакомство с начертанием цифр». Дети осваивают счет, отношения больше — меньше, моложе — старше, цифры. Предлагаются задачи на сравнение в возрастном отношении: «Соне 6 лет, а Володе 3 года. Кто старше? На сколько?»
Четвертая часть названа «Измерения и действия над числами». Особое внимание уделяется установлению соотношений соизмеримых предметов по слову. Взрослый и ребенок называют предметы, а другие дети называют признак, по которому можно их сравнить. Например, доска и рейка сравниваются по ширине (длине, толщине); река и ручеек по глубине и т. д. Игры направлены на выработку у детей понятия о различии предметов по длине, высоте, ширине, толщине, глубине, стоимости, массе, площади (размеру). Первоначальному освоению арифметических действий способствует игра, в которой действия над числами иллюстрируются картинками. Например, кладется карточка с изображением двух девочек и одной. А ниже — карточки с цифрами 2 и 1, соответствующие знаки и результат. Обозначается результат также предметной карточкой и цифрой.
Пятая часть игр-занятий — «Переход к абстрактному счислению» — направлена на систематизацию навыков в вычислениях. С этой целью Е. И. Тихеевой были разработаны специальные пособия.
В последнюю часть игр-занятий — «Составление и решение задач» — включены игры и упражнения, способствующие выработке умений составлять задачу по картинкам, бытовой ситуации, отвечать на вопросы «Что сколько стоит?», «Сколько в неделе дней?» и др.
В разработанных Е. И. Тихеевой играх-занятиях реализована созданная ею программа развития у детей математических пред- ставлений и требования жизненности, реальности в обучении детей. j
Дидактические материалы Е. И. Тихеева делила на 3 вида: естественный материал (камни, раковины, листья), извлеченный из жизненной обстановки (игрушки, предметы), искусственный (специально разработанный для детей).
Искусственный дидактический материал Тихеева считала особо значимым, так как он выдвигает упрощенные (в сравнении с обыденными житейскими) ситуации, обеспечивает повторность, концентрирует внимание детей на определенной задаче. Действуя с досками-дюймовками (разделенными на дюймы), дети осваивают счет и вычисления. Кроме того, это незаменимый материал для строительно-конструктивных игр. При сооружении построек требуется соотношение досок-дюймовок по размерам, что обеспечивает постройке прочность и красоту.
Итак, Е. И. Тихеева обосновала ряд положений, характеризующих обучение счету.
1. Обучение строится на основе учета предпосылок детского развития и протекает в форме самодеятельности. Оно невозможно без богатого дидактического материала, жизненного опыта, четкого ненавязчивого руководства.
2. Игры-занятия сконструированы ею таким образом, что от освоения простых внешних особенностей предметов и отношений между ними (свойства, отношения по количеству, размер) дети переходят к познанию зависимости между величинами, числами, усваивают арифметические действия, измерения.
3. Руководство игрой, состоящее в постановке познавательных задач, обеспечивает развитие самостоятельности в игре.
До 1939 г. в детских садах Ленинграда обучали счету по методике Л. В. Глаголевой и Ф. Н. Блехер. Л. В. Глаголева — исследователь, методист, практик. В ряде ее методических пособий («Преподавание арифметики лабораторным методом» (1919), «Сравнение величин предметов в нулевых группах школ» (1930), «Математика в нулевых группах» (1930)) изложены содержание, методы и приемы развития у детей первоначальных представлений о числах, величинах и их измерении, делении целого на равные части.
В методике обучения счету и развития числовых представлений Л. В. Глаголева рекомендовала опираться как на монографический, так и вычислительный методы обучения. Во всех пособиях, разработанных ею, прослеживается мысль о необходимости идти при обучении от числа к числу. Это дает возможность формировать понятие числа во всех отношениях к другим числам (монографический метод).
Л. В. Глаголева писала о том, что самое главное в методике — это подбор и правильное использование такого наглядного пособия, при помощи которого «восприятие данного числа получилось бы наиболее ярко». В приведенном ею примере точки, камешки, листики используются для иллюстрации любого числа. А такие предметы, как табуретка с четырьмя ножками, квадрат С четырьмя сторонами и четырьмя углами, кошка с четырьмя лапами, помогут ребенку воспринять образ числа 4, а не какого-либо другого.
Л. В. Глаголева пропагандировала разнообразие методов обучения. При этом большое значение имел каждый метод: лабораторный (практические действия с использованием наглядного материала), исследовательский (поиск детьми ситуаций применения знаний, аналогичных изучаемым), иллюстративный (закрепление знаний, умений в продуктивной деятельности), наглядный (демонстрация наглядных пособий). Игра рассматривалась ею как метод обучения на занятиях. Ценность игры Л. В. Глаголева видела в развитии интересов детей, активности, находчивости и сообразительности, приучения их к наблюдательности на основе развития памяти, разумной критики и осознания своих ошибок.
Л. В. Глаголева особое внимание уделяла разработке методики обучения детей сравнению величин путем сопоставления и с помощью меры и числа. Навыки в наблюдении над предметами считала основой сравнения. Предполагала, что сначала нужно учить детей видеть, рассматривать и сравнивать предметы в помещении, затем — на улице, в природе, а потом — на картинках. Рекомендовала упражнять детей в описании предмета, находящегося перед глазами, а затем — по памяти. Высказывалась против первичного использования картинок в сравнении величин, советовала первоначально пользоваться предметами.
Л. В. Глаголева разработала план построения занятий с детьми по сравнению величин, выделив в нем 4 момента: образ, опыт, проверка и фиксация. Образ формировался в ходе четкого и отчетливого восприятия величин. В процессе накопления опыта дети изучали данную величину путем лабораторно-иссле-довательского метода. Сравнивали предметы между собой разнообразно: при помощи зрения и осязания вместе, затем — порознь (зрением без осязания и наоборот). Проверка полученных детьми восприятий состояла в нахождении в окружающей обстановке и назывании нескольких предметов, где бы исследуемая величина имела место. Например, ребенок замечал, что одна электрическая лампочка висит выше, чем другие. Или ребенок называл предметы, про которые можно сказать, что некоторые из них — толще, а другие — тоньше. Фиксация величины осуществлялась в какой-либо результативной детской деятельности (рисование, аппликация) и являлась контролем за освоением детьми соответствующих способов познания.
Дальнейшая разработка вопросов методики развития математических представлений была предпринята педагогом и исследователем Ф. Н. Блехер (1895—1977). Основные мысли о содержании и методах обучения изложены ею в книге «Математика в детском саду и нулевой группе» (1934), которая стала первым учебным пособием и программой для высших и средних учебных заведений по математике для советского детского сада. Ею опубликовано большое количество методических пособий, «методических писем» (1930—1940 гг.), в которых периодически предлагались уточнения к программе развития у детей математических представлений, методика организации упражнений и игр, требования к индивидуальному и групповому обучению детей.
В программе обучения детей счету, разработанной Ф. Н. Блехер, использовались данные зарубежных психологов, собственных наблюдений о времени и сроках восприятия ребенком разных чисел. На основе этого предлагалось: научить детей 3—4-летнего возраста различать и выделять понятия много и один, числа 1, 2, 3 на основе восприятия соответствующих совокупностей и определения их словом — числительным. В 5—6 лет — считать в пределах 10. На основе счета сравнивать числа, пользоваться порядковым счетом. В 6—7 лет — знать состав чисел, цифры, практически составлять числа из меньших групп, производить действия сложения и вычитания, освоить второй десяток, научиться решать простые арифметические задачи, близкие по содержанию жизненному опыту детей.
Согласно содержанию обучения, разработанному Ф. Н. Бле-хер, дети осваивали пространственные и временные отношения, геометрические фигуры, пространственные направления, приемы сравнения предметов, способы оценки временной длительности.
Для реализации поставленных задач Ф. Н. Блехер рекомендовала использовать два пути: развивать у детей количественные представления в других видах деятельности и проводить специальные игры и занятия. По ее мнению, дети должны активно участвовать в практических жизненных ситуациях (например, выяснять, сколько кроваток потребуется только что купленным куклам; определять самостоятельно, путем подсчета по календарю, количество дней до праздника); выполнять поручения взрослых, требующие освоения математических представлений; в играх, на занятиях упражняться в образовании групп предметов; сравнивать; отсчитывать; действуя с наглядным материалом, составлять числа из меньших чисел; находить цифры, показывающие то или иное количество и т. д.
Ф. Н. Блехер считала, что развивать у детей количественные представления следует как на основе счета, так и в процессе восприятия групп предметов. Разработанная ею методика обучения во многом отражала идеи монографического метода: идти в обучении от числа к числу, строить обучение на целостном восприятии групп предметов, запоминать с детьми случаи состава чисел (в качестве подготовки к простейшим арифметическим действиям), использовать числовые фигуры и т. д.
Ф. Н. Блехер разработала не только содержание обучения детей, но и методы, преимущественно игровые. Созданная ею система дидактических игр по сей день используется в дошкольных учреждениях с целью развития математических представлений и умственных способностей детей. Как считала Ф. Н. Блехер, дидактические игры, хотя и являются одним из важных приемов обучения, все же не могут заменить другие его формы и методы.
На основе анализа теоретических и методических публикаций Ф. Н. Блехер можно заключить, что ею создана первая в нашей стране дидактическая система обучения математике в условиях дошкольных учреждений.
1.3. Научно обоснованная дидактическая система формирования элементарных математических представлений в 50—60-е гг. XX в. (третий этап развития методики)
Вопросы развития количественных представлений у детей дошкольного возраста разрабатывались А. М. Леушиной (1898—1982) с 50-х гг. XX в. Благодаря ее работам методика развития у детей математических представлений получила теоретическое, научное и психолого-педагогическое обоснования, были раскрыты закономерности развития количественных представлений у детей в условиях целенаправленного обучения на занятиях в детском саду. Это стало возможным благодаря глубокому и тщательному анализу различных точек зрения, подходов и концепций формирования числовых представлений; учету достижений отечественной и зарубежной науки, практики общественного воспитания и обучения дошкольников в нашей стране.
Методическая концепция того времени основывалась на работах Е. И. Тихеевой, Л. В. Глаголевой, Ф. Н. Блехер. Суть ее заключалась в следующем: усвоение ребенком математических представлений осуществляется в процессе жизни и разнообразной деятельности. Играя, работая, дети сами черпают необходимые им для развития знания из окружающего мира. Педагог должен лишь создавать условия, пользоваться каждым удобным случаем для совершенствования количественных представлений у детей.
При таком подходе основное внимание уделялось разработке дидактического материала, играм и упражнениям как основному методу и средству работы с детьми.
А. М. Леушина разработала основы дидактической системы формирования элементарных математических представлений, создав программу, содержание, методы и приемы работы с детьми от 3 до 6 лет.
Теоретико-методическая концепция, разработанная А. М. Леушиной, заключается в следующем: от нерасчлененного восприятия множества предметов детей необходимо переводить к выявлению отдельных составляющих этого множества элементов путем попарного сопоставления их, что представляет дочисловой период обучения (усвоение отношений столько же, поровну, больше, меньше и др.). Обучение счету основывается на освоении детьми действий с множествами и базируется на сравнении двух множеств. Дети знакомятся с числом как характеристикой численности конкретной предметной группы (множества) в сопоставлении ее с другой. В дальнейшем сравнении чисел (на наглядной основе) ребенком усваиваются последовательность и отношения между ними, что приводит к сознательному освоению счета и использованию его в вычислениях, выполнению действий при решении простых арифметических задач. Элементарное представление о числе формируется у детей в ходе накопления ими опыта сравнения нескольких предметных групп по признаку количества, независимо от других признаков (качественных особенностей, расположения в пространстве). На этой основе строится освоение количественного и порядкового счета, определение состава чисел из единиц и двух меньших чисел.
В методике первоначального ознакомления детей с числами, счетом, арифметическими действиями, разработанной А. М. Леу-шиной, использованы положительные стороны метода изучения чисел (воспроизведение групп предметов, применение числовых фигур и счетных карточек, знакомство с составом чисел) и метода изучения действий (число как результат счета; образование чисел на основе сравнения двух совокупностей и практического установления между ними взаимнооднозначного соответствия; увеличение или уменьшение одного из них на единицу; освоение действий сложения и вычитания на основе сформированных представлений о числах натурального ряда и навыков счетной деятельности). Согласно методике, предложенной А. М.Леуши-ной, в процессе развития количественных представлений у детей следует особое внимание уделять накоплению ими чувственного опыта, созданию сенсорной основы счетной деятельности, последовательному обобщению детских представлений. Этим требованиям отвечает предложенная ею система практических упражнений с демонстрационным и раздаточным материалом.
Занятия рассматривались А. М. Леушиной в качестве основной, ведущей формы развития количественных представлений в детском саду. С их помощью возможно освоение детьми знаний повышенной трудности, достаточно обобщенных, лежащих в «зоне ближайшего развития». Самостоятельно приобрести их ребенок не в состоянии. «Попутное» усвоение их в игре или труде малоэффективно, т. к. главными в них являются цели, способы действия и результаты самой деятельности, а не формирование математических представлений.
Полноценное математическое развитие обеспечивает лишь организованная, целенаправленная деятельность на занятии, в ходе которой взрослый продуманно ставит перед детьми познавательные задачи, показывает адекватные пути и способы их решения. В процессе обучения на занятиях необходимо реализовывать основные программные требования, математические представления формировать в определенной системе. Представления и соответствующие им способы действия, сформированные на занятиях, должны обслуживать потребности разных видов детской деятельности, повышая ее продуктивность и результативность.
Вопрос о методах и средствах обучения должен решаться на основе и в тесной связи с содержанием и формами организации процесса развития количественных представлений у детей в детском саду. В содержании обучения основное внимание необходимо уделять формированию счетной и вычислительной деятельности, которые являются основой математического развития ребенка.
Разработанная А. М. Леушиной концепция формирования количественных представлений в 60—70-е гг. была существенно дополнена за счет научно-теоретической и методической разработки проблемы развития пространственно-временных представлений у дошкольников. Результаты научных исследований А. М. Леушиной отражены в ее докторской диссертации «Подготовка детей к усвоению арифметического материала в школе» (1956), многочисленных публикациях, учебных пособиях, таких как «Обучение счету в детском саду» (М., 1959, 1961), «Формирование элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста» (М., 1974) и др. Обложку одного из пособий вы видите на илл. 3.
Воспитатели детских садов широко использовали разработанные А. М. Леушиной конспекты занятий: «Занятия по счету в дет
ском саду» (М., 1963, 1965) и «Наглядные дидактические материалы» (1965).
В дальнейшем под руководством А. М. Леушиной (по результатам диссертационных исследований) были разработаны содержание и методы формирования у детей пространственных и временных представлений, обучения измерению объема, массы; вопросы умственного и всестороннего развития детей в процессе освоения ими элементарных математических знаний Резюме по второму и третьему этапам становления методики
г В 20—50-е гг. XX в. особых различий в подходах к отбору содержания, методов обучения и развития разными педагогами не наблюдалось (Е. И. Тихеева, Л. В. Глаголева, Ф. Н. Блехер). Предлагалось развивать способность ориентироваться в пространстве и времени, умения различать формы и величины, числа и действия над ними, представления о мерах и делении целого на части.
г Вопрос о средствах и методах обучения решали, исходя из возможностей ребенка и гуманистических принципов организации его познавательной деятельности (Е. И. Тихеева, Ф. Н. Блехер и др.). Повседневная жизнь детей, жизненные ситуации рассматривались как источник и средство развития в предметно-игровой среде. Игры-занятия, занятия как индивидуальные, так и в небольших группах — как средство умственного развития детей, овладения ими практическими действиями.
г Логика построения занятий (уроков) с детьми, предложенная Л. В. Глаголевой, изучавшей особенности организации обучения в подготовительных классах, широко применялась в 50—70-е гг. и оправдывала себя в условиях организации обучения детей в дошкольных учреждениях по типу школьного урока. В структуре занятия четко выделялась организация восприятия того, что подлежит изучению, оценка, называние, перенос восприятий и освоенных действий, самостоятельное решение детьми практических задач: нарисовать, начертить, сконструировать какой-либо предмет по теме занятия. ^Исследование А. М. Леушиной, направленное на изучение особенностей развития представлений о множестве, числе, величинах у детей 2—7 лет, активизировало направление исследований в данной отрасли знаний, деятельность практических педагогов по разработке дидактического и педагогического аспектов: содержания, форм, методов и средств обучения.
Литература
1. Теории и технологии математического развития детей дошкольного возраста. Хрестоматия/Сост.: Михайлова 3. А, Непомнящая Р. Л., Полякова М. Н.— М.: Центр педагогического образования, 2008.
2. Щербакова Е. И. Методика обучения математике в детском саду. — М.: Академия, 2000.
1.4. Психолого-педагогические исследования 60—70-х гг. XX в. и передовой педагогический опыт в области теории и технологий математического развития детей
Разработка психолого-педагогических вопросов методики развития математических представлений у детей дошкольного и младшего школьного возраста в 60—70-е гг. XX в. строилась на основе методологических позиций советской психологии и педагогики. Изучались закономерности становления представлений о числе, развития счетной и вычислительной деятельности. Обосновывалась необходимость начинать обучение детей с раннего возраста, с восприятия множества предметов, с последующим обучением счету, выделению отношений между числами. Разрабатывались дидактические материалы, пособия, игры.
Вопросы развития представлений о множестве предметов у детей, закономерности перехода от восприятия множеств к числу исследовались психологом И. А. Френкелем и математиком-методистом Л. А. Яблоковым. Ими обоснованы положения о необходимости развития у детей умения распознавать отдельные элементы множества с последующим переходом к обобщениям о зависимости восприятия множества от способа пространственного расположения его элементов; об усвоении детьми числительных; о ступенях овладения счетными операциями.
Н. А. Менчинская наиболее полно рассмотрела вопросы психологии обучения арифметике (проблема исследовалась ею с 1929 г.) и проследила процесс развития представления о числе в младшем возрасте (до начала школьного обучения). На большом экспериментальном материале рассмотрено соотношение воспршггия множеств (групп предметов) и счета на различных этапах овладения числом, дан психологический анализ процесса решения детьми арифметических задач.
Н. Н. Лежавой разработаны содержание и приемы обучения детей счету на основе идей монографического метода (1953). Автор рекомендует обучать счету без сравнения множеств, путем добавления к имеющемуся количеству по одному (что трактуется как усвоение действий сложения
ретические основы
При выработке собственных воззрений Е. И. Тихеевой использованы результаты работ зарубежных педагогов: И. Г. Песталоцци, Ф. Фребеля, Марии Монтессори, а также практика работы воспитателей отечественных детских садов.