Краткая теория.

Поэтому измерение ускорения свободного падения в различных точках Земли с одной стороны дает указания о форме Земли, а с дру­гой стороны позволяет обнаруживать различные местные неоднороднос­ти в строении земного шара.

Одним из методов достаточно точного определения ускорения сво­бодного падения является исследование колебательного движения маят­ников.

В физике под маятником понимают твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебательное движение относительно непод­вижной оси. Различают математический и физический маятники.

Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке. Достаточно хорошим приближением к математическому маятнику служит небольшой тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити (рис.1).

Физическим маятником называют твердое те­ло, закрепленное на горизонтальной оси, проходящей через точку О расположенную выше его центра тяжести С (рис. 2).

Рассмотрим динамику движения этих маятников.

При отклонении маятников на угол из

положения равновесия возникает вращательный момент относительно точки О. В дан­ном случае на тело действуют только моменты силы тяжести, так как момент силы реакции оси равен нулю. Известно, что сумма моментов сил тяжести равна моменту равнодействующей силы , при усло­вии, что она приложена к центру тяжести, В однородном поле центр тяже­сти совпадает с центром масс тела.

По определению момент силы относительно точки O: , где - радиус-вектор точки приложены силы относительно точки О.

Уравнением движения тела, закрепленного на неподвижной оси, явля­ется основное уравнение динамики вращательного движения, имеющее вид:

(1)

где ℐ - момент инерции тела относительно оси; - угловое ускорение. .

Под вектором угла понимается вектор, по модулю равный и направленный вдоль оси вращения таким образом, чтобы с его начала

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ ПРИ ПОМОЩИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО И ОБОРОТНОГО МАЯТНИКОВ

поворот наблюдался происходящим по часовой стрелке.

По определению векторного произведения момент силы тяжести будет в данном случае направлен противоположно направлению .

Для решения дифференциального уравнения (1) перейдем от век­торной формы к скалярной. Рассмотрим проекции векторов и на ось координат, совпадающую с осью вращения и направленную по

Составляющая момента силы относительно точки О вдоль оси, проходящей через эту точку, называется моментом силы относительно оси.

Вектор можно записать следующим образом:

, где - единичный вектор, направленный вдоль , а , тогда угловое ускорение , так как направление вектора не меняется со временем.

Таким образом, уравнение (1) в проекции на выбранную коорди­натную ось запишется:

(2)

Поскольку , где .
Знак (-)_, как уже говорилось, учитывает то обстоятельство, что направлен противоположно . •

Если ограничиться случаем малых отклонений из положения рав­новесия, то можно считать .

Уравнение (2) при этом переходит в уравнение:

(3)

(4)

Поделив обе части уравнения (4) на ℐ, подучим уравнение, опи­сывающее гармонические колебания:

(5)

Общим решением уравнения (5) будет функция вида:

(6) (б)

где A и ∝ - произвольные постоянные, определяемые на началь­ных условий, a

- циклическая частота колебаний.

Поскольку период колебаний и циклическая частота связаны со­отношением можем определить период рассматриваемых гармонических колебаний:

(7)

Из (7) получаем непосредственно выражение для ускорения сво­бодного падения

(8)

Таким образом, зная период колебаний маятника и его момент инерции» можно определить ускорение свободного падения. Для математического маятника момент инерции .

Следовательно, ускорение свободного падения при помощи коле­баний математического маятника можно определить по формуле:

(9)

Формула (9) является формулой для расчета ускорения свободного па­дения при колебаниях математичес­кого маятника.

Для физического маятника появляются трудности с определением момента инерции ℐ, который трудно вычислить с большой степенью точности. Поэтому для измерения g описанным способом использу­ются маятники особой конструкции, которые позволяют либо легко вы­числять момент инерция, либо исключить его из рассмотрения.

В данной работе используется так называемый оборотный маят­ник, конструкция которого позволяет исключить момент инерции на рассмотрения.

Получение рабочей формулы для определения g с помощью оборотного маятника.

Оборотный маятник (рис. 3) состоит из длинного цилиндрического стержня, на котором закрепляются две подвижные призмы A и B и два подвижных тяжелых диска E и D.

Колебания маятника осуществляют­ся поочередно вокруг осей, про­ходящих через

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ ПРИ ПОМОЩИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО И ОБОРОТНОГО МАЯТНИКОВ

ребра призм A и B. Обозначим расстояние от ребра призмы A до центра масс С через a; расстояние от ребра призмы В до центра масс С - через b ; расстояние между ребрами призм - l.

Пусть и периоды колебаний маятника относительно осей, проходящих соответственно через ребра призм A и В.

; , (10)

где и - моменты инерции маятника относительно осей, проходящих через соответствующие ребра призм.

Возведем каждое из выражений (10) в квадрат, домножим первое на a, второе - на b и вычтем друг из друга:

(11)

Моменты инерции и можно определить, воспользовав­шись теоремой Штейнера: момент инерции тела относительно оси, не проходящей через центр масс, равен сумме двух слагаемых: момента инерции относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс JЈ и произведе­ния кассы тела на квадрат расстояния между центром масс и рассмат­риваемой осью.

Таким образом:

; (12)

Подставив соотношения (12) в (11), получим:

(13)

Если подобрать положения дисков E и D таким образом, чтобы выполнялось соотношение , то формула (13) значительно упрощается и мы получим рабочую фор­мулу для определения ускорения си­лы тяжести при помощи оборотного маятника.

,

, (14)

где l - расстояние между ребрами призм в случае равенства пе­риодов колебаний относительно каждого из ребер