Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х=х0, если выполнены условия:
1) функция определена в точке х=х0 и в некоторой окрестности, содержащей эту точку;
2) функция имеет предел в этой точке, т.е.
(существуют и равны между собой односторонние пределы);
3)предел функции равен значению функции в этой точке:
.
Если нарушается хотя бы одно из этих условий, тогда х0 – точка разрыва функции.
Если оба односторонних предела существуют и являются конечными числами, но не выполнено третье условие, то х0 – точка разрыва первого рода. Все остальные точки разрыва – второго рода.
Пример : Исследовать функцию на непрерывность: найти точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график функции.
На каждом из интервалов функция непрерывна. Остаётся проверить те точки, в которых функция меняет своё аналитическое выражение.
1)x=0
;
;
y(0)= 
.
Функция непрерывна в точке х=2
3) x=2
,
.
Предел слева не равен пределу справа, оба конечные числа. Поэтому х=2-точка разрыва первого рода.
y
1
-1 2 x
Литература [1, 2]
Вопросы для самопроверки:
1.Как связано понятие предела функции с односторонними пределами?
2.Какая функция называется бесконечно малой, каковы ее свойства?
3.Какая функция называется бесконечно большой, каковы ее свойства?
4.Какая функция называется непрерывной в точке?
