Алгоритм симплекс-метода

Теперь мы в состоянии сформулировать алгоритм симплекс-метода для решения задач линейного программирования, заданных в канонической форме. Обычно он реализуется в виде так называемой симплекс-таблицы, изображенной на следующей странице.

В первом столбце этой таблицы располагаются обозначения векторов, входящих в базис.

Второй столбец  коэффициенты целевой функции, соответствующие векторам, входящим в базис.

Третий столбец  компоненты опорного плана. В дополнительной строке в этом столбце пишется величина . Её легко вычислить, перемножая числа из второго столбца и третьего столбца и складывая их.

Далее идут столбцы, соответствующие всем векторам , и в этих столбцах записываются координаты этих векторов в рассматриваемом базисе. Заметим, что для векторов, входящих в базис, эти координаты имеют вид (0,0, ... ,0,1,0, ..., 0), где единица стоит в той строке, где находится сам этот базисный вектор.

В дополнительной строке сверху обычно выписывают коэффициенты , соответствующие этим векторам.

В дополнительной строке снизу пишутся величины , вычисляемые по формулам:

.

Заметим, что для векторов, входящих в базис, эти разности всегда равны нулю.

Этап 1

Просматривается дополнительная строка снизу, где записаны разности. Если все эти разности , то план является оптимальным

Этап 2

Если есть столбцы, где , то выбирается столбец с максимальным значением этой разности. Индекс j определит вектор, вводимый в базис.

Пусть , то есть в базис надо вводить вектор . Назовем столбец, соответствующий этому вектору, направляющим столбцом. В дальнейшем мы будем направляющий столбец помечать символом .

Этап 3

Просматривается столбец, соответствующий этому вектору. Если все , то значения целевой функции неограниченны снизу. Если есть , то находятся

где просматриваются лишь те дроби , для которых

Пусть этот минимум достигается для вектора . Тогда именно вектор подлежит выводу из базиса. Строка, соответствующая этому вектору, называется направляющей строкой. В дальнейшем в примерах мы будем помечать ее символом .

Этап 4

После того, как определены направляющие столбец и строка, начинает заполняться новая симплекс-таблица, в которой на месте направляющей строки будет стоять вектор .

Обычно заполнение этой новой таблицы начинается именно с направляющей строки. В качестве компоненты опорного плана туда пишется величина , то есть

.

Остальные элементы этой строки заполняются величинами

.

Обратите внимание на особую роль элемента , стоящего на пересечении направляющей строки и направляющего столбца. Именно на него делятся все бывшие элементы направляющей строки. На месте бывшего элемента автоматически появляется единица.

Написанные выше формулы для пересчета элементов направляющей строки можно записать следующим правилом:

Этап 5

Далее начинается пересчет всех остальных строк таблицы, включая и дополнительную нижнюю строку по формулам: для компонент плана

;

для координат разложения по базису

;

для дополнительной строки

.

Обратите внимание на то, что все эти формулы по сути дела строятся по одному правилу

.

Это правило применимо и к компонентам плана, и к величинам , и к разностям . Его даже можно использовать для пересчета элементов самого направляющего столбца, хотя проще заполнить его нулями, оставив 1 на месте бывшего элемента .Далее итерации продолжаются.