Биматричные игры

В случае, когда интересы игроков различны, получаются две платежные матрицы: одна – матрица выплат игроку А, другая – матрица выплат игроку В. такие игры называются биматричными.

В общем случае биматричная игра – это игра с ненулевой суммой.

Примеры биматричных игр

Примеры этого раздела описывают некоторые типические конфликтные ситуации, приводящие к биматричным играм. Сначала мы обсудим вопросы, связанные с формализацией рассматриваемых конфликтов (построение платежных матриц),а позднее–с рекомендациями по их разрешению.

Борьба за рынки

Небольшая фирма (игрок А) намерена сбыть партию товара на одном из двух рынков, контролируемых другой, более крупной фирмой (игрок В). Для этого фирма А готова сделать на одном из рынков соответствующие приготовления (например, развернуть рекламную кампанию). Господствующая на рынках фирма В может попытаться воспрепятствовать этому, приняв на одном из рынков предупредительные меры (разумеется, в рамках закона). Не встречая противодействия на рынке, фирма А захватывает его; при наличии препятствий – терпит поражение.

Будем считать для определенности, что проникновение фирмы А на первый рынок более выгодно для нее, нежели на второй. Естественно также считать, что и борьбаза первый рынок потребует вложения больших средств. Например, победа фирмы А на первом рынке принесет ей вдвое больший выигрыш, чем победа на втором, но зато и поражение при попытке освоиться на первом рынке пол­ностью ее разорит, а фирму В избавит от конкурента.

Что же касается второго рынка, то при поражении фирмы А ее потери будутне столь разорительны, но и победа принесет не много. Таким образом, у фирмы А две стратегии:

A₁ – выбор первого рынка, А₂ – выбор второго рынка.

Такие же стратегии и у фирмы В:

В₁– выбор первого рынка, В₂– выбор второго рынка.

Для того чтобы составить платежные матрицы игроков, нужны расчетные количественные показатели, которые мы приведем здесь в условных единицах:

А= , В= .

Посмотрим на выписанные матрицы выплат. Из сказанного выше ясно, что если оба игрока выберут один и тот же рынок, то победа останется за более сильной фирмой В.

То, что в ситуации (A₁, B₁) выигрыш игрока В равен 5, а в ситуации (А₂,В₂) – 1, подчеркивает, что первый рынок более выго­ден (удобно расположен, хорошо посещаем и т. п.), чем второй. Вы­игрыш (–10) игрока А в ситуации (A₁,В₁) (а точнее, проигрыш) в сопоставлении с его выигрышем (–1) в ситуации (А₂,В₂) выглядит, разумеется, вполне сокрушительно. Что же касается ситуации, ко­гда фирмы уделяют основное внимание разным рынкам – (A₁,B₂) и (А₂, B₁), то здесь фирму А ждет настоящий выигрыш, больший на более выгодном рынке. Потери, которые при этом несет фирмаВ,оказываются прямо противоположными.

Дилемма узников

Игроками являются два узника, находящиеся в предварительном заключении по подозрению в совершении преступления. При отсутст­вии прямых улик возможность их осуждения в большой степени за­висит от того, заговорят они или будут молчать.

Если оба будут молчать, то наказанием будет лишь срок предва­рительного заключения (потери каждого из узников составят (–1)). Если сознаются,то получат срок, учитывающий признание как смягчающее обстоятельство (потери каждого из узников составят в этом случае (–6)). Если же заговорит только один из узников, а другой будет молчать. то в этом случае заговоривший будет выпущен на свободу (его потери равны 0), а сохраняющий молчание получит максимально возможное наказание (его потери будут равны (– 9)).

Эта конфликтная ситуация приводит к биматричной игре, в которой каждый из игроков имеет по две стратегии – молчать (М) или говорить (Г).

Выигрыши игроков А и В соответственно описываются так;

Семейный спор

Два партнера договариваются о совместном проведении одного из двух действий, (1) и (2), каждое из которых требует их совместного участия.

В случае осуществления первого из этих двух действий выигрыш первого партнера (игрок А) будет вдвое выше выигрыша второго партнера (игрок В). Напротив, в случае осуществления второго из этих двух действий выигрыш игрока А будет вдвое меньше выигрыша игрока В. Если же партнеры выполнят различные действия, то выигрыш каждого из них будет равен нулю.

Эта конфликтная ситуация приводит к биматричной игре, в которой каждый из игроков имеет по две стратегии. Выигрыши игроков А и В описываются таблицами следующего вида:

Пояснение. Понятно, что различные конфликтные ситуации могут иметь одну и ту же формализацию. В частности, рассмотренная биматричная игра часто интерпретируется как одновременный выбор супругами совместного развлечения: посещение оперного спектакля или хоккейного матча. При этом в посещении оперного театра жена заинтересована в большей степени, чем муж, а при посещении стадиона наблюдается обратная картина. В случае же непреодолимости разногласий, возникших при выборе, день оказывается вообще испорченным. Отсюда и название, вынесенное в заголовок.

Студент - преподаватель

Рассмотрим следующую ситуацию. Студент (игрок А) готовится к зачету, который принимает преподаватель (игрок В). Можно счи­тать, что у студента две стратегии – подготовиться к сдаче зачета (+) и не подготовиться (–). У преподавателя также две стратегии — поставить зачет [+] и не поставить зачета [–]. В основу значений функций выигрыша игроков положим следующие соображения:

Выигрыш студента Выигрыш преподавателя

Количественно это можно выразить, например, так