Пусть имеется п различных отраслей, каждая из которых производит свой продукт. В процессе производства своего продукта каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Будем вести речь о некотором определенном промежутке времени (обычно таким промежутком служит плановый год) и введем следующие обозначения:
хi – объем продукции отрасли i за данный промежуток времени – так называемый валовой выпуск отрасли i;
хij – объем продукции отрасли i, расходуемый отраслью j в процессе своего производства;
yi – объем продукции отрасли i, предназначенный к потреблению в непроизводственной сфере – объем конечного потребления. Этот объем составляет обычно более 75% всей произведенной продукции. В него входят создаваемые в хозяйстве запасы, личное потребление граждан, обеспечение общественных потребностей (просвещение, наука, здравоохранение, развитие инфраструктуры и т. д.), поставки на экспорт.
Очевидно, что при i= 1,..., п должно выполняться соотношение
хi = хi1 + хi2 +...+ хin + yi, (1.2.1)
означающее, что валовой выпуск хi расходуется на производственное потребление, равное хi1 + хi2 +...+ хin и непроизводственное потребление, равное yi. Будем называть (1.2.1) соотношениями баланса.
Единицы измерения всех указанных величин могут быть или натуральными (кубометры, тонны, штуки, киловатт-часы и т. п.), или стоимостными. В зависимости от этого различают натуральный и стоимостной межотраслевой балансы. Для определенности в дальнейшем будем иметь в виду (если не оговорено противное) стоимостной баланс.
В.Леонтьев, рассматривая развитие американской экономики в предвоенный период, обратил внимание на важное обстоятельство. А именно, для выпуска любого объема хj продукции отрасли j необходимо затратить продукцию отрасли i в количестве aijхj, где aij – постоянный коэффициент. Проще говоря, материальные издержки пропорциональны объему производимой продукции (линейность существующей технологии). Принцип линейности распространяется и на другие виды издержек, например, на оплату труда, а также на нормативную прибыль.
Коэффициенты aij называют коэффициентами прямых затрат (коэффициентами материалоемкости).
В предположении линейности соотношения (1.2.1) принимают вид:
х1 = a11х1 + a12х2 +...+ a1n хn + у1 ,
х2 = a21х1 + a22х2 +...+ a2n хn + у2,
…………………………..
хn = an1х1 + an2х2 +...+ annхn + уn,
или, в матричной записи, x=Ax+y, (1.2.2)
где – матрица коэффициентов прямых затрат;
– столбец неизвестных объемов валового выпуска;
– столбец объемов конечного потребления.
Соотношение (1.2.2) называется уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с изложенной интерпретацией матрицы А и векторов хи у это соотношение называют также моделью Леонтьева.
Уравнения межотраслевого баланса можно использовать для целей планирования. В этом случае задача ставится так: для предстоящего планового периода задается вектор у конечного потребления. Требуется определить вектор х валового выпуска. Проще говоря, нужно решить задачу: сколько следует произвести продукции различных видов, чтобы обеспечить заданный уровень конечного потребления? В этом случае необходимо решить систему линейных уравнений, соответствующую матричному уравнению (1.2.2) с неизвестным вектором х при заданных матрице А и векторе у.
Если обратная матрица (Е – А)-1 существует, то решение находится в виде
х = (Е – А)-1у. (1.2.3)
Замечание. Обратим внимание на смысл коэффициентов аij прямых затрат в случае стоимостного (а не натурального) баланса. В этом случае аij есть стоимость продукции отрасли i, вложенной в 1 руб. продукции отрасли j. Отсюда, между прочим, видно, что стоимостной подход по сравнению с натуральным обладает более широкими возможностями. При таком подходе уже необязательно рассматривать «чистые», т.е. однопродуктовые, отрасли. Ведь и в случае многопродуктовых отраслей тоже можно говорить о стоимостном вкладе одной отрасли в выпуск 1 руб. продукции другой отрасли; скажем, о вкладе промышленной сферы в выпуск 1 pyб. сельскохозяйственной продукции или о вкладе промышленной группы А (производство средств производства) в выпуск 1 руб. продукции группы В (производство предметов потребления). Вместе с тем надо понимать, что планирование исключительно в стоимостных величинах может легко привести к дисбалансу потоков материально-технического снабжения.
Коэффициенты обратной матрицы (Е–А)-1 называются коэффициентами полных затрат.
Пример1.2.1. Решить уравнение межотраслевого баланса, если
– матрица коэффициентов прямых затрат;
– столбец неизвестных объемов валового выпуска;
– столбец объемов конечного потребления.
у = 
