Пример 1.Пусть в результате корреляционно-регрессионного анализа (см. дисциплину «Эконометрика») получены следующие зависимости себестоимости продукции (у) от определяющих факторов (табл. 1.1.1.):
Таблица 1.1.1.
Объем производства (х1)
у(х1)=0,62+58,74∙(1/х1) (гипербола)
2,64
Трудоемкость единицы продукции (х2)
у(х2)=9,3+9,83∙х2 (линейная функция)
1,38
Оптовая цена за 1т. энергоносителя (х3)
у(х3)=11,75+х31,6281 (степенная функция)
1,503
Доля прибыли, изымаемая государством (х4)
у(х4)=14,87∙1,016х4 (показательная функция)
26,3
Тогда получаем:
a) для гиперболы у=b+a/x
b) для линейной функции у=b+ax
c) для степенной функции у=bxа
d) для показательной функции у=bах
Из примера видно, что в наибольшей степени себестоимость зависит от оптовой цены за 1т. энергоносителя (1.63), затем от объемов производства (-0.973, т.е. с ростом объемов производства на 1% себестоимость падает почти на 1%).
Пример 2. При заданном бюджете М и ценах факторов производства rL и rK фирма работает по технологии, отображаемой функцией Q = LαKβ.
1. При каких объемах труда и капитала объем выпуска фирмы будет максимальным?
2. Как изменится капиталовооруженность труда, если:
а – бюджет фирмы возрастет в 1,5 раза;
б – цена труда возрастет в 1,5 раза?
Решение.
1. Из условия равновесия фирмы следует, что
В соответствии с бюджетным ограничением
М= rLL+ rKK=rLL+ rK
Отсюда максимальныe объемы труда и капитала будут:
2а. Из условия равновесия фирмы следует, что капиталовооруженность труда не зависит от бюджета фирмы.
2б. Капиталовооруженность труда возрастет в 1,5 раза.
Пример 3. Продукция производится по технологии, отображаемой функцией Q = L0,25 K0,5. Цены факторов производства равны: rL = 1; rK = 3.
Определить минимум средних затрат в коротком периоде при использовании следующих объемов капитала: K = 10; 15; 20. Построить функции АС для каждого из указанных объемов капитала.
Решение.
При заданной технологии L =Q4/K2. Поэтому суммарные издержки TC=1∙Q4/K2 +3K, откуда следует, что средние затраты будут равны
AC= Q3/K2 +3K/Q.
Минимум АС определяется из условия
AC'=
При K=10 АСmin =7,11; при K=15 АСmin=7,87; при K = 20 АСmin = 8,46.
Функции АС для каждого из указанных объемов капитала определяются по формулам:
Графики этих функций предлагается построить самостоятельно.
Пример 4. Бюджет потребителя 120 ден. ед., а его функция полезности
U= .
Продукт А производится по технологии, отображаемой функцией QA= , а продукт В – QB= . Факторы производства фирмы покупают по неизменным ценам rL = 2; rK = 8.
Какую максимальную полезность в этих условиях может достичь потребитель?
Решение.
Воспользуемся вторым законом Госсена (1.1.9). При заданной функции полезности получим =0.5U/QA, =0.25U/QB и 0.5QB/0,25QA= PA /PВ, бюджетное ограничение QA∙PA + QВ∙PВ =120. Откуда функции спроса индивида на блага получают следующий вид: =80/PA; =40/PB.
При заданной технологии и ценах факторов производства фирма А имеет а в соответствии с условием равновесия фирмы 8KA = 2LA→ KA = 0,25LA.
Из этих двух уравнений находим, что для производства продукции с минимальными затратами фирма А должна использовать LA = 2 и KA = 0,5 . При этом общие затраты равны TCA = 2∙2 + 8∙0,5 = 8 ; предельные затраты MCA = 16QA= PA, откуда = PA/16, а фирма В имеет:
также KВ = 0,25LВ. Из этих двух уравнений находим, что для производства продукции с минимальными затратами фирма В должна использовать LВ = 2 и KВ = 0,5 . При этом общие затраты равны TCВ = 2∙2 + 8∙0,5 = 8QB; предельные затраты MCB = 8 = PB.
Равновесие объемов спроса и предложения блага А достигается при
80/PA=PA/16 →PA =35,78; QA =2,236.
Благо В предлагается по неизменной цене РВ= 8, в этом случае индивид купит QВ = 40/8 = 5. Следовательно, потребитель может достичь максимальной полезности U = 2,2360,5 ∙50,25 = 2,236.
Пример 5. Предположим, что необходимо оценить работу некоторой отрасли, если известен объем производства отрасли Y, затраты трудовых ресурсов L и объем используемого капитала К:
№n/n
Y
K
L
104.8
117.2
121.9
115.6
134.2
139.9
123.2
142.7
148.1
156.2
152.2
155.8
197.5
201.1
195.9
194.4
146.4
160.5
Исходя из теоретических знаний можем предположить, что зависимость объема производства от труда и капитала описывается ПФ Кобба-Дугласа .
Задание: необходимо оценить значения параметров A, а1, а2 с помощью средств регрессионного анализа.
Решение:
ПФ приведем к линейному виду путем логарифмирования:
С помощью сервисного пакета “Анализ данных” EXCEL оценим параметры a0, a1, a2:
a0= -0,04302 , a1=0,245099, a2=0,766056.
Вычислим параметр А. Для этого найдем экспоненту от константы регрессии А=е-0,04302=0.958.
Рассчитаем теоретические значения объема производства по формуле:
Y*=0.958K0.245L0.766 .
С помощью <Мастера диаграмм> EXCEL построим графики фактических Y и теоретических Y* значений объема производства отрасли.
Вывод: полученная функция достаточно хорошо отражает реальные данные. Значение коэффициента детерминации R=0.955 говорит о хорошей функциональной зависимости.
Кроме того, сумма 0.245+0.766=1.011 близка к 1, поэтому можно предположить, что реальная зависимость, возможно, описывается ПФ Кобба-Дугласа.
Контрольные вопросы
1. Эконометрическое моделирование функции спроса.
2. Эконометрическое моделирование функции предпочтения.
3. Эластичность спроса по цене: определение и использование в практике маркетинга.
4. Методы оценивания эластичности спроса по цене.
5. Свойства эластичности спроса по цене.
6. Перекрестные коэффициенты эластичности.
7. Уравнение Слуцкого.
8. Взаимозаменяемые и взаимодополняемые товары.
9. Ценные и малоценные товары.
10. Графическая иллюстрация компенсированного изменения цены.
11. Один товар: кривая спроса и предложения.
12. Один товар: понятие равновесной цены, дефицит и излишек.
13. Один товар: индивидуальный и рыночный спрос.
14. Один товар: эластичный и неэластичный спрос. Определение, свойства.
15. Один товар: спрос постоянной эластичности.
16. Один товар: реакция потребителя на изменение цен в зависимости от коэффициента эластичности.
17. Реакция производителя товара в зависимости от эластичности спроса.
18. Понятие и математическая формализация потребительского выбора.
19. Использование моделей потребительского выбора для принятия управленческих решений.
20. Использование моделей спроса для принятия управленческих решений в условиях недостатка маркетинговых данных.
23. Производственная функция: закон убывающей доходности.
24. Производственная функция: характер изменения при расширении масштабов производства.
25. Производственная функция: средний и предельный доходы.
26. Характеристика производств в зависимости от соотношения средних и предельных доходов.
27. Предельная норма замены.
28. Производственная функция Кобба-Дугласа. Определение.
29. Производственная функция Кобба-Дугласа. Основные свойства.
30. Производственная функция Кобба-Дугласа. Экономический смысл средних и предельных показателей.
31. Производственная функция Кобба-Дугласа. Свойства показателей эластичности.
32. Производственная функция Кобба-Дугласа. Экономическая и особая области.
33. Производственная функция Кобба-Дугласа. Изокванты.
34. Понятие равновесной цены.
35. Дана производственная функция Кобба-Дугласа: Y = 1,038 K0,655 L0.345. Какова норма замены труда фондами?
36. Какой экономический смысл имеют коэффициенты А, a1, a2 мультипликативной производственной функции F(K,L) = ?
37. Что такое изоклинали? В чем их экономический смысл?
38. Мультипликативная производственная функция и её свойства.
Тесты
1. Предельная производительность (предельный продукт) i – го ресурса рассчитывается по формуле:
а) ; б) ; в) .
2. Что показывает коэффициент эластичности:
а) на сколько изменится факторный признак при изменении результативного признака на один процент;
б) на сколько процентов изменится результативный признак при изменении факторного признака на один процент;
в) долю изменения результативного признака под действием факторного признака.
3. Средняя производительность (средний продукт) i – го ресурса рассчитывается по формуле:
а) ; б) ; в) .
4. Оценка эластичности потребления ресурса по объему выпускаемой продукции, находиться по формуле:
а) ; б) ; в) .
5. Функцией полезности U(x, у) называется функция
а) задающая степень полезности (для потребителя) набора товаров, состоящего из х единиц товара Х и у единиц товара Y;
б) задающая количество полезных ингридиентов в единице продукта;
в) определяющая степень полезности ресурсов для производства оптимального объема продукции.
6. Эластичность спроса зависит от факторов:
а) наличие товаров-заменителей (одним из самых неэластичных товаров является соль, т.к. ее нельзя ничем заменить);
б) удельный вес стоимости товара в бюджете потребителя;
в) размеры дохода покупателей (при этом цена может не меняться, изменяется платежеспособность – чем дороже товар, тем эластичнее спрос на него);
г) качество товара (чем выше качество, чем менее эластичен спрос);
д) п.п. а-г.
7. Свойством эластичности является:
а) Эластичность суммы у=у1+…+уп положительных функций уi удовлетворяет соотношению Еmin £ Еу £ Еmax, где Еmin(Еmax) – это минимальная (максимальная) эластичность функций уi.
б) Эластичность произведения функций u=u(x) и v=v(x) равна рзности эластичностей функций u и v: Еuv = Еu – Еv.
в) Эластичность частного функций u=u(x) и v=v(x) равна сумме эластичностей функций u и v: Еuv = Еu + Еv..
8. Свойством эластичности является:
а) Эластичность произведения функций u=u(x) и v=v(x) равна произведению эластичностей функций u и v: Еuv = Еu ∙ Еv.
б) Эластичность частного функций u=u(x) и v=v(x) равна разности эластичностей функций u и v: Еuv = Еu – Еv..
в) Для сложной функции у=у(х(t)) эластичность у по t удовлетворяет равенству Еyt = Еyx /Еxt..
9. Свойством эластичности является:
а) Эластичность произведения функций u=u(x) и v=v(x) равна разности эластичностей функций u и v: Еuv = Еu – Еv.
б) Эластичность частного функций u=u(x) и v=v(x) равна сумме эластичностей функций u и v: Еuv = Еu + Еv..
в) Эластичность обратной функции удовлетворяет соотношению Еxy=1/Еyx..
10. Свойством эластичности является:
а) Эластичность произведения функций u=u(x) и v=v(x) равна разности эластичностей функций u и v: Еuv = Еu – Еv.
б) Эластичность частного функций u=u(x) и v=v(x) равна сумме эластичностей функций u и v: Еuv = Еu + Еv..
в) Для сложной функции у=у(х(t)) эластичность у по t удовлетворяет равенству Еyt = Еyx ∙Еxt..
11. Производственная функция типа Кобба-Дугласа записывается в виде:
а) у=Ах +Вх ; б) у=Ах х ; в) у=Ах /Вх .
12. Производственная функция записывается в виде Y=f (x1,x2), где
а) x1 –стоимость основных производственных фондов, x2 – объём выпускаемой продукции, Y– численность промышленно-производственного персонала;
б) x1 – стоимость товарной продукции, x2 – численность промышленно-производственного персонала, Y– стоимость основных производственных фондов;
в) x1 –стоимость основных производственных фондов, x2 – численность промышленно-производственного персонала, Y– стоимость товарной продукции.
13. К характеристикам производственной функции относятся:
а) предельная производительность ресурса;
б) предельная производительность ресурса;
в) эластичность замещения ресурсов;
г) средняя норма замещения ресурсов;
14. При росте объема производства изокванта будет смещаться:
а) вверх и вправо; в) вверх и влево;
б) вниз и вправо; г) вниз и влево.
15. Эластичность спроса на ресурс зависит от:
а) эластичности спроса на продукт;
б) соотношения издержек на труд и общих издержек;
в) верны а) и б);
г) ни один из перечисленных факторов не влияет на эластичность спроса на ресурс.
16. Дана производственная функция Q(L,K)=5L0,3K0,5. Для нее характерна:
а) возрастающая экономия от масштаба;
б) постоянная экономия от масштаба;
в) убывающая экономия от масштаба;
г) ничего определенного сказать нельзя.
17. Предельная норма технического замещения труда капиталом равна 1/2. Для того чтобы обеспечить предельный объем производства при увеличении капитала на 4 единицы, необходимо сократить использование труда:
а) на 2 единицы; в) на 8 единиц;
б) на 4 единицы; г) необходима дополнительная информация.
18. Когда предельная производительность падает, экономия от масштаба:
а) возрастает; в) постоянна;
б) убывает; г) данных недостаточно.
19. Изокванта объединяет точки:
а) равных издержек;
б) одинакового выпуска продукции;
в) устойчивого равновесия производителя;
г) равенства спроса и предложения.
20. Когда предельная производительность растет, экономия от масштаба:
2,64
1,38
1,503
26,3
.
, а продукт В – QB= 
. Факторы производства фирмы покупают по неизменным ценам rL = 2; rK = 8.
=0.5U/QA, 
=0.25U/QB и 0.5QB/0,25QA= PA /PВ, бюджетное ограничение QA∙PA + QВ∙PВ =120. Откуда функции спроса индивида на блага получают следующий вид: 
=80/PA; 
=40/PB.
а в соответствии с условием равновесия фирмы 8KA = 2LA → KA = 0,25LA.
и KA = 0,5 
= PA/16, а фирма В имеет:
также KВ = 0,25LВ. Из этих двух уравнений находим, что для производства продукции с минимальными затратами фирма В должна использовать LВ = 2 
и KВ = 0,5 
.
?
; б) 
; в) 
.
; б) 
; в) 
.
; б) 
; в) 
.
+Вх 
; б) у=Ах