Двойной интеграл и его свойства

Опр. Если существует один и тот же предел интегральных сумм при и , не зависящий от способа разбиения области D и выбора точек Pi , то он называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D и обозначается . Область D при этом называется областью интегрирования.

Свойства :

1. Если функция f(x, y) интегрируема в D, то kf(x, y) тоже интегрируема в этой области, причем

1. Если в области D интегрируемы функции f(x, y) и g(x, y), то в этой области интегрируемы и функции f(x, y) ± g(x, y), и при этом

3. Если для интегрируемых в области D функций f(x, y) и g(x, y) выполняется неравенство f(x, y) ≤ g(x, y) , то

4. Если область D разбита на две области D1 и D2 без общих внутренних точек и функция f(x, y) непрерывна в области D, то

5. В случае интегрируемости на D функции f(x, y) в этой области интегрируема и функция | f(x, y) |, и имеет место неравенство

6. т.к.

40. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Вычисление двойного интеграла сводится к последова­тельному вычислению двух определенных интегралов. Пусть область D ограничена кривыми , , , , причем , а функции непрерывны на отрезке . Прямая, параллельная оси 0y, пересекает границу области D не более чем в двух точках. Такую область D называют простой и правильной в направлении оси 0y. Тогда , причём сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной y, а полученный результат интегрируем по x. Если на отрезке верхняя или нижняя граница области D задаются несколькими аналитическими выражениями, то область D следует разбить на количество областей, равное числу аналитических выражений верхней (или нижней) границы области , причём двойной интеграл по области D в этом случае равен сумме интегралов по полученным областям.