Экстремум функции двух переменных. Необходимое условие экстремума (теорема).

Пусть функция Z=f(x,y) определена в некоторой окрестности (.) М(x₀, y₀). Говорят, что функция z= f(x,y) имеет в (.) М локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность (.) М₀, в которой для любой (.) М(x,y) выполняется неравенство f(x,y) f(x₀, y₀) (f(x,y) f(x₀, y₀)).Точки локального максимума и локального минимума называются точками экстремума.Из определения следует, что если функция z= f(x,y) имеет экстремум в (.) М₀ , то полное приращение z=f(M)- f(М₀) этой функции в (.)М₀ удовлетворяет в некоторой окрестности (.)М₀ одному из следующих условий: z 0(в случае локального максимума); z 0 (в случае лок. минимума).И обратно, если в некоторой окрестности (.) М₀ выполняется одно из этих неравенств, то функция имеет экстремум в (.) М_0. Необходимое условие экстремума.Теорема.Еслифункция f(x,y) имеет в (.)М(x₀, y₀) экстремум и частные производные 1-го порядка, то в этой точке частные производные 1-го порядка равны 0, т.е f'_x(x₀, y₀)= f'_y(x₀, y₀)=0Док-во. Докажем, напр., равенство нулю частной производной f'_x(x₀, y₀).Для этого рассмотрим в окрестности (.) М₀ только те точки, для которых у=у_{0 .} Тогда будем иметь функцию f(x₀, y₀),одной прямой x , которая имеет в (.) х=х₀ экстремум и производную f'(x₀, y₀).Следовательно, в этой точке выполняется необходимое условие экстремума ф-ции первой переменной: f'_x(x₀, y₀)=0.Аналогично рассматривая ф. f(x₀, y₀)одной переменной уи находим f'_y(x₀, y₀)=0 ч.т.д.Условие f'_x(x₀, y₀)= f'_y(x₀, y₀)является только необходимымусловием экстремума. Точки, в которых оно выполняется называют точкой возможного экстремума

21. . Достаточные условия экстремума функции двух переменных (теорема).Пусть функция z = f(x, y) определена на множестве {М}, а М₀ (x₀, у₀) — некоторая точка этого множества.

Определение. Функция z = f(x, у) имеет в точке М₀ локаль­ный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки M₀, принадлежащая {М}, что для любой точки М(х, у) из этой окрестности выполняется неравенство f(M) ≤ f(M₀) (f(М) ≥ f(М₀)); для случая функции трех и более переменных локальный экстремум определяется аналогично. Рассмотрим случай функции двух переменных z = f(x, y), часто используемый на практике. Обозначим вторые частные производные этой функции , , в некоторой точке M₀ через а₁₁, a₁₂, a₂₂ соответственно. Тогда достаточное усло­вие локального экстремума формулируется следующим обра­зом.

ТЕОРЕМА 3.Пусть в точке М₀(х₀, у₀) возможного экстре­мума функции и = f(x, у) и в некоторой ее окрестности все вторые частные производные этой функции непрерывны. Тогда если

то функция и = f(x, y) имеет в точке М₀ локальный экстре­мум: минимум при а₁₁ < 0 и максимум при а₁₁ > 0. Если же а₁₁а₂₂ — a₁₂² ≤ 0, то данная функция не имеет локального эк­стремума в точке M₀.

22.Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа(теорема). Условный экстремум - относительный экстремум, экстремум функции f (x₁,..., x_{n + m}) от п+т переменных в предположении, что эти переменные подчинены ещё т уравнениям связи (условиям): φ_k (x₁,..., x_{n + m}) = 0, 1≤ k ≤ m (*) Точнее, функция f имеет условный экстремум (У.э.) в точке М, координаты которой удовлетворяют уравнениям (*), если её значение в точке М является наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями f в точках некоторой окрестности точки М, координаты которых удовлетворяют уравнениям (*). Геометрически в простейшем случае условный экстремум функции f (x, у) при условии φ(х, у) = 0 является наивысшей или наинизшей (по сравнению с близлежащими точками) точкой линии, лежащей на поверхности z = f (x, у) и проектирующейся на плоскость хОу в кривую φ(х, у) = 0. В точке У. э. линия φ(х, у)= 0 либо имеет особую точку, либо касается соответствующей линии уровня (поверхности) функции f (x, у). При некоторых дополнительных условиях на уравнения связи (*) разыскание У. э. функции f можно свести к разысканию обычного экстремума функции, выразив x_{1 + 1}.., x_{n + m} из уравнения (*) через x₁,..., x_n и подставив эти выражения в функцию f. Теорема: Пусть - точка условного экстремума функции при выполнении уравнений связи. Тогда в этой точке градиенты являются линейно зависимыми, то есть но .Доказательство приведено ниже в виде следствия. Следствие: Если - точка условного экстремума функции относительно уравнений связи, то такие, что в точке или в координатном виде

23. Метод наименьших квадратов. Допустим, что некоторая теоретическая модель предполагает линейную зависимость одной из характеристик системы от других: y = Σ_i k_i·x_i (i – число независимых переменных). Задача заключается в следующем: при фиксируемых параметрах x и измеренных значениях yрассчитать вектор параметров k, удовлетворяющий некоторому критерию оптимальности. В методе наименьших квадратов этим критерием является минимум суммы квадратов отклонений расчитанных значений y от наблюдаемых (экспериментальныхmin Σ_i (y_s,i – y_i)². Чтобы найти минимум функции, это выражение надо продифференцировать по параметрам и приравнять нулю (условие минимума). В результате поиск минимума суммы квадратов сводиться в простым операциям с матрицами (см. например ент.

й ф-цииия,частного Если теоретическая модель представляет собой линейную зависимость от одного параметра (y = a + b·x), то решение выражается в виде простых формул, которые можно рассчитать даже на микрокалькуляторе:
Z = nΣx_i² - (Σx_i)²;
a = (Σy_iΣx_i² – Σy_ix_iΣx_i) / Z; S_a² = S_y² Σx_i² / Z;
b = (nΣy_ix_i – Σy_iΣx_i) / Z; S_b² = S_y² n / Z;
S_y² = Σ(y_s,i – y_i)² / (n – 2) (y_s,i – рассчитанное значение, y_i – экспериментально измеренное значение) При расчете погрешностей предполагается, что точность плана эксперимента (значений x) значительно превосходит точность измеряемых значений y, погрешность измерения которых подчиняется нормальному распределению.

24.Первообразная, неопределенный интеграл..Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке X , если для любого х Х функция F(x) дифференцируема и выполняется равенство F’(x)= f(x).Задача отыскания по заданной функции f(x) ее первообразной неоднозначна; если F(x) —первообразная, то и функции F(x) + С, где С- произвольное постоянное число, также первообразная для функции f(x), так как [F(x) + С]' = f(x).Множество всех первообразных функций для функции f(x) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается . Т.о., по определению = F(x)+С, где F’(x)= f(x). Здесь: - знак интеграла, f(x) – подынтегральная функция., f(x)dx- подынтегральное выражение, x – переменная интегрирования. Операция нахождения первообразной по ее производной или неопределенного интеграла по заданной подынтегральной функции называется интегрированием этой функции. Интегрирование является операцией обратной дифференцированию.