Свойства степенных рядов

1. Если , т.е. ряд (3.10) сходится в круге , то, используя признак Вейерштрасса, нетрудно установить, что ряд сходится равномерно в круге , где — любое положительное, меньшее число, . Это означает, что степенной ряд сходится равномерно внутри круга сходимости.

2. В силу аналитичности членов степенного ряда и свойств равномерно сходящихся рядов получаем (см. теорему 3.2), что внутри круга сходимости сумма степенного ряда есть функция аналитическая.

3. Степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать любое число раз внутри круга сходимости.

Последнее свойство означает, что ряд, полученный из ряда дифференцированием, т.е. ряд или, что удобнее, , и ряд, полученный интегрированием, т.е. ряд , сходятся внутри круга сходимости исходного ряда, а потому их радиусы сходимости не меньше радиуса сходимости исходного ряда.

Покажем, что радиус сходимости при дифференцировании и интегрировании не меняется. Обозначим радиус сходимости данного степенного ряда через , где . Рассмотрим ряд, членами которого являются производные от членов данного ряда, т.е. ряд, полученный почленным дифференцированием: . Общий член этого ряда запишем в виде , где , а — коэффициент исходного ряда. Радиус сходимости полученного ряда определим по формуле Коши-Адамара, т.е. , где

Следовательно, . Здесь использован известный предел , частный случай которого был использован при решении примера 3.3. Так как ряд получается из ряда интегрированием, то из доказанного следует, что при интегрировании ряда радиус сходимости не изменяется.

Пример 3.11. Найти суммы следующих рядов с комплексными членами:

а) ; б) ; в) ; г) .