Признак даламбера

Теорема. Пусть дан ряд с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел , тогда ряд сходится при и расходится при .

Доказательство:

Так как , то по определению предела для любого найдется натуральное число такое, что при выполняется неравенство или (2).

Пусть . Можно подобрать так, что число . Обозначим . Тогда из правой части неравенства (2) получаем или . В силу свойств всех 3 числовых рядов можно считать, что для всех . Давая номеру эти значения получим целый набор неравенств:

………..

Т.е. члены ряда меньше соответствующих членов ряда , который сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем . Но тогда на основании признака сходимости сходится и ряд . Следовательно, сходится и исходный ряд .

Пусть . В этом случае . Отсюда следует, что, начиная с некоторого номера , выполняется неравенство или , т.е. члены ряда с увеличением номера возрастают, поэтому . На основании следствия из необходимого признака этот ряд расходится.

1) Если , то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

2) Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражения вида .

Пример.

Исследовать на сходимость ряд . Находим . Так как , то данный ряд по признаку Даламбера сходится.

45.признак Коши

Если для ряда с положительными членами U₁+U₂+…+U_n+… , величина имеет конечный предел r при , т.е.

, то

1. r<1 ряд сходится;

2. r>1 ряд расходится;

3. r=1 признак определенного ответа о сходимости ряда не дает.

Пример 4: Исследовать по признаку Коши ряд

Замечание: При исследование сходимости ряда применение признака Даламбера оказывается практически более простым, чем применение признак Коши. Следует, однако, знать, что признак Коши сильнее признака Даламбера. Это значит, что исследование сходимости ряда с помощью признака Коши может иногда привести к цели и в тех случаях, когда признак Даламбера оказывается бессильным. Но если признак Коши не решил вопроса о сходимости ряда, то нечего пытаться доказывать его сходимость при помощи признака Даламбера.