Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение называется линейным, если неизвестная функция и все ее производные входят в уравнение линейно:

Если f (x) тождественно равна нулю, то уравнение называется однородным; в противном случае оно называется неоднородным.

Принцип суперпозиции. Если и – решения однородного уравнения то

y (x) = α₁ y₁ (x) + α₂ y₂ (x)

при любых постоянных α₁ и α₂ является решением однородного уравнения.

Если и – решения неоднородного уравнения то их разность

y (x) = y₁ (x) – y₂ (x)

есть решение однородного уравнения

Всякое решение неоднородного уравнения есть сумма частного решения этого неоднородного уравнения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения

Уравнение вида

где a₁, …, a_n – некоторые постоянные, называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

Всякое решение однородного уравнения первого порядка

имеет вид

где C – постоянная.

Уравнение вида

где P_m (x) – многочлен степени m, μ – постоянная, имеет частное решение вида

если μ ≠ λ, и вида

если μ = λ. Здесь Q_m (x) – многочлен степени m.

В общем случае у однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеется так называемое характеристическое уравнение Корни этого уравнения – характеристические числа – являются показателями степеней слагаемых, входящих в решение. Если среди корней уравнения нет кратных, то решением однородного уравнения является функция вида где все – некоторые константы, зависящие от начальных условий. Количество слагаемых в этой функции совпадает со степенью дифференциального уравнения. Если же, скажем, – корень характеристического уравнения кратности m, то соответствующее слагаемое принимает вид а общее количество слагаемых, входящих в решение однородного дифференциального уравнения уменьшается на m – 1.

Уравнение

где ω > 0, называется уравнением гармонических колебаний. Его нетривиальным решением является функция вида

x (t) = C₁ cos ωt + C₂ sin ωt,

где C₁, C₂ – постоянные. Эту функцию можно представить в виде

x (t) = A cos (ωt – φ),

где

Уравнение

сводится к трем случаям:

a² < ω²:

Эта функция не периодическая, но ее максимумы и минимумы повторяются с периодом T = 2π/ω. Величина A e^–at называется амплитудой затухающих колебаний. Заметим, что она существенно зависит от времени.

a² > ω²:
где λ₁ и λ₂ – постоянные:

Функция x(t) – непериодична, это – апериодический процесс.

a² = ω²:

Это – также апериодический процесс.