Мы называем уравнение или неравенство иррациональным, если оно содержит переменную под радикалами, то есть под знаками квадратного, кубического и т. д. корня. Иррациональные уравнения и неравенства обладают определённой спецификой.
Учёт ОДЗ
Напомним, что область допустимых значений (сокращённо ОДЗ) уравнения или неравенства есть множество значений переменной, при которых обе части данного уравнения или неравенства имеют смысл. В любой задаче можно обойтись без поиска (и без упоминания) ОДЗ, так что особой необходимости в этом понятии нет. Но и вреда в нём тоже нет2 ; более того, в отдельных ситуациях нахождение ОДЗ оказывается весьма полезным. Так, в некоторых иррациональных уравнениях и неравенствах дело не доходит до каких-либо специфических приёмов — достаточно пристального взгляда и учёта ОДЗ.
Равносильные преобразования
Мы переходим к рассмотрению стандартных видов иррациональных уравнений и неравенств. Здесь предварительный поиск ОДЗ оказывается, как правило, ненужным шагом; наиболее эффективно эти задачи решаются с помощью соответствующих равносильных переходов. Уравнения вида √ A = √ B
Начнём с примера.
Пусть надо решить уравнение √ x = √ 2x + 1. В силу монотонности функции √ x подкоренные выражения должны быть равны: x = 2x+1, откуда x = −1. Однако подстановка этого значения x в уравнение даёт отрицательные числа под радикалами; следовательно, x = −1 не является корнем данного уравнения, и потому оно не имеет решений. Теперь рассмотрим общую ситуацию. Пусть имеется уравнение √ A = √ B, где A и B — некоторые выражения, содержащие переменную. Тогда, во-первых, подкоренные выражения должны быть равны: A = B. Во-вторых, оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными; но в силу их равенства достаточно потребовать неотрицательности одного из них. Таким образом, имеем: √ A = √ B ⇔ ( A = B, A > 0 или √ A = √ B ⇔ ( A = B, B > 0. При этом естественно требовать не отрицательности того выражения, которое устроено проще.
5.Посторение графиков функции, аналитические выражения которого содержат модуль.:
Модуль числа – это расстояние от точки отсчёта до точки соответсвующей этой точке.
Алгоритм построения графика y=|f(x)|.
1.Строим график y=f(x)
2.Участки графика, лежащие выше оси абсцисс, оставить без изменения.
3.Участки, лежащие ниже оси абсцисс, зеркально отобразить относительно этой оси.
Алгоритм построения графика y=f(|x|).
1.Построим график y=f(x).
2.удалим все точки находящиеся слева оси OY.
3.Все точки, лежащие на оси ОУ и справа от неё ,отразим симметрично относительно оси ОУ.
Алгоритм построения графика |y|=|f(x)|
1.Строим график y=f(x).
2.строим график y=|f(x)|.
3.Осуществить его зеркальное отображение относительно оси Ох.
6.Cвойства и график квадратной функции y=ax+bx+c
Функция, которую можно задать формулой y=ax2+bx+c, где a,b,c∈R и a≠0,
называется квадратичной функцией.
Областью определения функции y=ax2+bx+c (допустимыми значениями аргумента x) являются все действительные числа (R).
Графиком квадратичной функции является парабола.
абсциссу вершины параболы (xo;yo) можно вычислить по формуле:
xo=−b/2a.
Чтобы построить график квадратичной функции необходимо:
1) вычислить координаты вершины параболы: x0=−b/2a и y0, которую находят, подставив значение x0 в формулу функции,
2) отметить вершину параболы на координатной плоскости, провести ось симметрии параболы,
3) определить направление ветвей параболы,
4) отметить точку пересечения параболы с осью Oy,
5) составить таблицу значений, выбрав необходимые значения аргумента x.
Решив квадратичное уравнение ax2+bx+c=0, получаем точки пересечения параболы с осью Ox или корни функции (если дискриминант D>0)
если D<0, то точек пересечения параболы с осью Ox не существует,
если D=0, то вершина параболы находится на оси Ox.
7. Свойства и график биквадратной функции y=ax^4+bx^2+c.
Биквадратное уравнение[4] — уравнение четвёртой степени вида ax^4+bx^2+c=y, где a,b,c — заданные комплексные числа и а не равно 0. Подстановкой у=х^2, убольше либо =0 сводится к квадратному уравнению относительно у.
Четыре его корня:
Возвратное уравнение четвёртой степени является также относительно легко решаемым: для такого, что , решение находится приведением к виду:
,
и после замены ищется решение квадратного уравнения .
Свойства:
1.Биквадратное уравнение можно заменой y=x2 свести к квадратному уравнению y2+by+c=0.
2. Биквадратное уравнение можно решить заменой y=x+x1 , при условии, что c>0.
такого, что 
, решение находится приведением к виду:
,
ищется решение квадратного уравнения 
.