Билет №1

Возникновение геометриивосходит к глубокой древности и было обусловлено практическими потребностями человеческой деятельности (необходимостью измерения земельных участков, измерения объемов различных тел и т. д.).

Простейшие геометрические сведения и понятия были известны еще в Древнем Египте. В этот период геометрические утверждения формулировались в виде правил, даваемых без доказательств.

С VII века до н. э. по I век н. э. геометрия как наука бурно развивалась в Древней Греции. В этот период происходило не только накопление различных геометрических сведений, но и отрабатывалась методика доказательств геометрических утверждений, а также делались первые попытки сформулировать основные первичные положения (аксиомы) геометрии, из которых чисто логическими рассуждениями выводится множество различных геометрических утверждений. Уровень развития геометрии в Древней Греции отражен в сочинении Евклида «Начала».

В этой книге впервые была сделана попытка дать систематическое построение планиметрии на базе основных неопределяемых геометрических понятий и аксиом (постулатов).

Особое место в истории математики занимает пятый постулат Евклида (аксиома о параллельных прямых). Долгое время математики безуспешно пытались вывести пятый постулат из остальных постулатов Евклида и лишь в середине XIX века благодаря исследованиям Н. И. Лобачевского, Б. Римана и Я. Бойяи стало ясно, что пятый постулат не может быть выведен из остальных, а система аксиом, предложенная Евклидом, не единственно возможная.

«Начала» Евклида оказали огромное влияние на развитие математики. Эта книга на протяжении более чем двух тысяч лет была не только учебником по геометрии, но и служила отправным пунктом для очень многих математических исследований, в результате которых возникли новые самостоятельные разделы математики.

Систематическое построение геометрии обычно производится по следующему плану:

I. Перечисляются основные геометрические понятия, которые вводятся без определений.

II. Дается формулировка аксиом геометрии.

III. На основе аксиом и основных геометрических понятий формулируются остальные геометрические понятия и теоремы.

О геометрии Лобачевского и аксиоматике евклидовой геометрии

После III в. до н.э. геометрия развивалась медленно — требова­лись новые идеи и методы, необходимо было развитие понятия числа и алгебры. Первые шаги в этом направлении были сделаны в Греции (работы Диофанта, III в), а затем в Индии, где были открыты десятичная система счисления, отрицательные и ирра­циональные числа.

В IX в. благодаря работам Мухаммеда аль-Хорезми дальнейшее развитие получила алгебра. Позже таджикский поэт и ученый Омар Хайям (конец XI — начало XII вв.) дал определение числа как отношения величин. Через 600 лет это же определение было дано Ньютоном во «Всеобщей арифметике». В геометрии новые идеи и методы появились в XVII в. Они были обусловлены развитием ал­гебры и созданием математического анализа. Принадлежали эти идеи французскому философу и математику Рене Декарту. В своем сочинении «Геометрия» он впервые представил метод координат на плоскости, установив тем самым взаимосвязь геометрии с ал­геброй.

Важным направлением в развитии геометрии был поиск логи­чески безупречного построения геометрии. Дело в том, что аксио­матически построенная теория должна удовлетворять определен­ным требованиям математической строгости. Они не абсолютны и в разные периоды истории были различными. Эти требования за­ставили обратить особое внимание на пятый постулат геометрии Евклида — его трудно было принять очевидным, как остальные аксиомы и постулаты. Поэтому возникло стремление вывести его из остальных постулатов и аксиом. Однако попытки, которые дли­лись более двух тысяч лет, были безуспешными, хотя и сыграли положительную роль в развитии геометрии, так как были сформулированы и коказаны теоремы, раскрывающие новые свойства геометрических фигур.

Переворот в геометрии произошел в начале XIX в., когда не­сколько ученых пришли к мысли о существовании геометрии, от­личной от евклидовой. Первым, кто построил эту геометрию, был Н. И.Лобачевский, профессор Казанского университета. Его рас­суждения сводились к следующему; если заменить пятый постулат его отрицанием (т.с. принять, что через точку вне прямой можно провести более одной прямой, ей параллельной) и сохранить все остальные аксиомы евклидовой геометрии, то получим новую гео­метрию, которую он назвал «воображаемой», а позднее она была названа его именем — геометрией Лобачевского.

Все теоремы, доказываемые в евклидовой геометрии без ис­пользования пятого постулата, сохраняются и в геометрии Лоба­чевского. Например, вертикальные углы равны; углы при основа­нии равнобедренного треугольника равны; изданной точки мож­но опустить на данную прямую только один перпендикуляр. Тео­ремы же, при доказательстве которых применяется пятый посту­лат, в геометрии Лобачевского видоизменяются, например сумма величин внутренних углов любого треугольника меньше 180“, в ней не существует подобных треугольников: если углы двух тре­угольников соответственно равны, то эти треугольники равны. Так как в геометрии Лобачевского сумма внутренних углов четырех­угольника меньше 360°, то в ней нет прямоугольников. Позже было доказано, что аксиоматика, предложенная им, независима и не­противоречива.

Открытие, сделанное Н. И.Лобачевским, сыграло огромную роль в развитии математики и физики. В его работах была не только пол­ностью решена проблема независимости аксиомы параллельности от других аксиом евклидовой гоомсгрии, но и показано, что аксио­мы могут подвергаться изменению, что привлекло внимание уче­ных к вопросам аксиоматики геометрии. После открытия Н. И. Лоба­чевского стало ясно, что пятый постулат (аксиома параллельности) не может быть исключен из списка аксиом и постулатов, сформу­лированных Евклидом. Общая тенденция к повышению строгости построения математических теорий во второй половине XIX в. ска­залась и в геометрии. Она выразилась в стремлении дополнить сис­тему аксиом евклидовой геометрии, включив в нее все предложе­ния, которые неявно использовались при доказательстве теорем.

Итог всем исследованиям в этой области в конце XIX в. подвел крупнейший немецкий математик Д. Гильберт, который в книге «Основания геометрии» приводит полный список аксиом евкли­довой геометрии и доказывает непротиворечивость этой аксиома­тики. Сформулированные им аксиомы относятся к точкам, пря­мым, плоскостям и отношениям между ними, которые выража­ются словами «принадлежит», «лежать между», «конгруэнтен». Что такое точка, прямая и плоскость и каков конкретный смысл ука­занных отношений, Д. Гильберт не уточняет. Все, что предполагается известным о них, выражено в аксиомах. Они разбиты на пять групп.

Первая группа (аксиомы принадлежности). В них устанавливают­ся отношения между точками, прямыми и плоскостями.

1. Через две точки проходит одна и только одна прямая.

2. На каждой прямой лежат по меньшей мере две точки.

3. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.

В связи с данными тремя аксиомами сделаем одно замечание. Известно, что на прямой бесконечное множество точек, но в ак­сиоме 2 отмечается, что их по меньшей мере две. Поэтому беско­нечность множества точек на прямой надо будет доказывать, ис­ходя из аксиом первой и последующих групп.

Для построения планиметрии ограничиваются указанными ак­сиомами принадлежности. Для построения стереометрии к ним присоединяются следующие.

4. Через каждые три точки, не лежащие на одной прямой, про­ходит одна и только одна плоскость.

5. Если две точки прямой принадлежат некоторой плоскости, то и все точки этой прямой принадлежат указанной плоскости.

6. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют по крайней мере еще одну общую точку.

7. Существует по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

Вторая группа (аксиомы порядка). Они определяют понятие «ле­жать между» и выражают свойства взаимного расположения точек на прямой и плоскости.

1. Если точка В лежит между точками А и С, то она лежит между точками С и А.

2. Для любых двух точек прямой А и В существует на этой пря­мой точка С, такая, что точка B лежит между точками А и С.

3. Из трех точек на прямой не более чем одна лежит между двумя другими.

4. Пусть точки А, В и С не лежат на одной прямой, и прямая не проходит ни через одну из этих точек. Если при этом прямая а пересекает отрезок АВ, т.е. проходит через точку, лежащую между точками А и В, то она пересекает один из отрезков ВС или АС.

Аксиомы первых двух групп позволяют определить понятие от­резка, луча, угла. Отрезок — это система двух точек А и В, принад­лежащих прямой а. Точки, расположенные между А и В, называ­ются точками, лежащими внутри отрезка АВ, точки А и В конца­ми отрезка Л В.

Луч с началом О — это совокупность всех точек прямой, лежа­щих с одной стороны от О.

Угол — это совокупность двух лучей с общим началом, лежа­щих на разных прямых.

лированы и доказаны теоремы, раскрывающие новые свойства геометрических фигур.

Третья группа (аксиомы равенства (конгруэнтности)). Они опре­деляют равенство отрезков и углов.

1. На данной прямой по данную сторону отданной на ней точ­ки можно отложить отрезок, равный данному, и притом един­ственным образом.

2. Два отрезка, порознь равные третьему, равны между собой.

3. Пусть на некоторой прямой точка В лежит между точками А и С и на некоторой другой или той же прямой точка B,, лежит между двумя точками А₁ и С₁. Если при этом отрезок АВ равен отрезку A₁B₁ и отрезок ВС равен B,C, то АС = А₁С₁.

4. По данную сторону от данного луча можно отложить данный угол и притом единственным образом.

5. Два угла, порознь равные третьему, равны между собой.

6. Пусть А, В, С — три точки, не лежащие на одной прямой, А_1, B₁, С₁, — тоже три точки, не лежащие на одной прямой. Если при этом АВ = A₁,B₁, <ВАС=А₁B₁С₁ то <АВС= А₁B₁С₁

Четвертая группа (аксиома непрерывности).

Е Если все точки прямой произвольным образом разбить на два класса так, что каждая точка первого класса лежит левее каждой точки второго класса, тогда непременно либо в первом классе есть самая правая точка (и во втором нет самой левой), либо во втором классе есть самая левая точка (ив первом нет самой правой).

Образно говоря, в этой аксиоме утверждается, что прямая не имеет проколов, что она непрерывна. Действительно, если на чис­ловой прямой выколоть только одну точку — нуль, то числа, соот­ветствующие оставшимся точкам, разделятся на два класса: отри­цательные и положительные. И в первом классе (среди отрица­тельных чисел) нет самого правого (самого большого), а во вто­ром — самого левого.

Пятая группа (аксиома параллельности).

Е В плоскости через точку вне данной прямой нельзя провести более одной прямой, не пересекающей данную прямую.

Совокупность всех теорем, выводимых из пяти групп аксиом, составляет евклидову геометрию.

Вообще в основу этой геометрии могут быть положены разные аксиоматики (система основных понятий и аксиом), но несмотря на их различия в евклидовой геометрии изучают одни и те же фи­гуры и получают одни и те же их свойства. Аксиоматическое пост­роение геометрии осуществляется по одним и тем же правилам:

1) выделяются основные понятия геометрии, которые прини­маются без определений;

2) формулируются аксиомы, в которых раскрываются свойства основных понязий, нужные для построения геометрии, т. с. аксио­мы по существу являются неявными определениями основных понязий (в остальном природа основных понятий безразлична). Си­стема аксиом должна удовлетворять ряду условий;

3) дальнейшее построение геометрии ведется в соответствии со следующими требованиями;

♦ всякое геометрическое понятие (термин), если оно не основ­ное, определяется через основные или ранее определенные поня­тия;

♦ всякое геометрическое утверждение (теорема, признак, след­ствие) доказывается на основе аксиом или ранее доказанных теорем.

Чертежи при таком построении геометрии играют вспомога­тельную роль.

В евклидовой геометрии изучают свойства фигур, связанные с понятиями длины, величины угла, площади и объема. Такие свой­ства фигур называются метрическими. В современной геометрии изучают и другие свойства фигур. Так, в XX в. началось системати­ческое изучение топологических свойств, т.е. таких свойств, кото­рые сохраняются при любых деформациях (сжатии, расширении, искажении размеров и формы фигуры), производимых без разры­вов и склеиваний.