Постановка основной задачи линейного программирования с n-переменными

Линейное программирование — математическая дисциплина, посвящённая теории и методам решения экстремальных задач на множествах n-мерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений и неравенств. Называется программированием условно, не имея ничего общего с написанием машинного кода.

Линейное программирование является частным случаем выпуклого программирования, которое в свою очередь является частным случаем математического программирования. Одновременно оно — основа нескольких методов решения задач целочисленного и нелинейного программирования. Одним из обобщений линейного программирования является дробно-линейное программирование.

Многие свойства задач линейного программирования можно интерпретировать также как свойства многогранников и таким образом геометрически формулировать и доказывать их.

Термин «программирование» нужно понимать в смысле «планирования». Он был предложен в середине 1940-х годов Джорджем Данцигом, одним из основателей линейного программирования, ещё до того, как компьютеры были использованы для решения линейных задач оптимизации.

В линейном программировании изучаются свойства решений линейных систем уравнений и неравенств с n-переменными следующего вида:

(1.1)

В системах (1.1) коэффициенты a_ij и правые части b_i являются числами.

Системы (1.1) называются системами ограничений.

Точка в n - мерном пространстве

(1.2)

удовлетворяющая системе (1.1), называется допустимым планом.

Основной задачей линейного программирования (ОЗЛП) с n-переменными называется задача о нахождении такого допустимого плана, который доставляет максимум функции

(1.3)

Функция Z, определенная соотношением (1.3), называется функцией прибыли (целевой функцией).

Допустимый план, доставляющий максимум функции (1.3), называется оптимальным планом.

Иногда в задачах линейного программирования вместо нахождения максимума функции прибыли Z требуется найти минимум функции затрат

(1.4)

В этом случае с помощью введения функции Z = − R задача о нахождении минимума функции затрат R сводится к задаче о нахождении максимума функции прибыли Z.