О решении видоизмененной краевой задачи типа Рикье с разрывными коэффициентами для бианалитических функций в случае полуплоскости

© 2015

Н.Г. Анищенкова, кандидат физико-математических наук, доцент, заведующая кафедрой математики и информатики

ФГБОЙ ВПО «Смоленский государственный университет», Смоленск (Россия), nadezhdaadhzedan@gmail.com

1. Постановка задачи. Пусть , и . В дальнейшем будем пользоваться терминами и обозначениями, принятыми в [1].

Рассмотрим следующую краевую задачу. Требуется найти все бианалитические функции , принадлежащие классу (см. [2]), исчезающие на бесконечности, ограниченные вблизи узлов и удовлетворяющие во всех обыкновенных точках контура краевому условию

, (1)

где , – заданные функции класса , – оператор Лапласа, причем .

Заметим, что при задача (1) представляет собой неклассическую задачу типа Рикье (см. [1], с. 16) в классе бианалитических функций. Поэтому при , , сформулированную задачу будемназывать видоизмененной задачей Рикье для бианалитических функций с разрывными коэффициентами, или короче – задачей в случае полуплоскости. При этом, если , то задачу (1) назовем однородной и будем обозначать .

В случае, когда контуром-носителем граничных условий является единичная окружность, задача (1) была рассмотрена в работе автора [3].

2. О решении задачи в случае полуплоскости. Известно (см., например, [1], [4]), что всякую бианалитическую в области функцию , исчезающую на бесконечности, можно представить в виде:

, (2)

где , – аналитические в области функции, называемые аналитическими компонентами бианалитической функции , для которых выполняются условия:

, (2)

Будем искать решение задачи (1) в виде:

. (3)

Тогда функции и будут связаны с аналитическими компонентами искомой бианалитической функции по формулам:

, (4)

. (5)

Так как (см., например, [4]) и с учетом того, что для всех точек контура выполняется условие , равенство (1) примет вид:

. (6)

Введем новые функции и по формулам:

, (7)

. (8)

С учетом формул (7)-(8) равенство (6) примет вид:

. (9)

Заметим, что равенство (9) представляет собой краевое условие обычной скалярной задачи Римана с разрывными коэффициентами относительно кусочно аналитической функции в случае полуплоскости.

Таким образом, решение задачи в случае полуплоскости сводится к решению краевой задачи Римана в классе кусочно аналитических функций с линией скачков . Так как решения задачи должны быть ограничены в окрестности узлов и исчезать на бесконечности, то сначала требуется определить классы, в которых следует решать задачу (9).

Из равенств (7)-(9) видно, что функции должны иметь на бесконечности ноль третьего порядка.

Оценим функцию вблизи узлов. Пусть – любой из узлов, тогда справедливо равенство . Имеем следующие оценки:

, (10)

. (11)

Из (10)-(11) следует, что для того чтобы искомая бианалитическая функция была ограничена вблизи узлов, необходимо и достаточно, чтобы функции были ограничены вблизи узлов контура .

Таким образом, получен следующий основной результат.

Теорема 1. Пусть , и . Тогда решение задачи сводится к решению скалярной задачи Римана (9) с разрывными коэффициентами в классах кусочно аналитических функций в случае полуплоскости, имеющих на бесконечности ноль третьего порядка и ограниченных в узлах контура.

Из проведенных выше рассуждений следует следующее утверждение.

Следствие 1. Задача в случае полуплоскости разрешима в замкнутой форме (в квадратурах).

Поскольку решение задачи в случае полуплоскости сводится к решению краевой задачи Римана (9), то картина разрешимости задачи будет складываться из картины разрешимости вспомогательной задачи (9).

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Пусть , и . Тогда число условий разрешимости задачи в случае полуплоскости и число линейно независимых решений соответствующей однородной задачи конечны, то есть задача в случае полуплоскости является нетеровой.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Расулов К.М. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторые их приложения. Смоленск: СГПУ, 1998. 344 с.

2. Болотин И.Б. Кусочно непрерывные краевые задачи типа Римана в классах бианалитических функций: дис. … канд. физ.-мат. наук: 01.01.01: защищена 21.06.04. Смоленск, 2004. 106 с.

3. Анищенкова Н.Г. О решении видоизмененной краевой задачи типа Рикье с разрывными коэффициентами для бианалитических функций в круге // Системы компьютерной математики и их приложения: Материалы XIII международной научной конференции, посвященной 75-летию профессора Э.И. Зверовича. Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2012. Вып. 13. С. 141-142.

4. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.