Программирование:

Паскаль Си Ассемблер Java Matlab Php Html JavaScript CSS C#Delphi Турбо Пролог 1С

Компьютерные сети Системное программное обеспечение Информационные технологии Программирование

Обучение

Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Площадь и объем в полярных координатах

Дата добавления: 2015-06-12; просмотров: 3096; Нарушение авторских прав

Пусть S является областью, ограниченной линиями (рисунок 3). Тогда площадь этой области определяется формулой


Рис.3

Объем тела, ограниченного сверху поверхностью с основанием S, выражается в полярных координатах в виде

Пример 1

Найти площадь области R, ограниченной гиперболами

и вертикальными прямыми

. Решение. Область R схематически показана на рисунке 4. Используя формулу для площади области I типа

получаем


Рис.4		Рис.5

Пример 2

Вычислить площадь области R, ограниченной линиями

. Решение. Сначала определим точки пересечения двух заданных линий.

Следовательно, координаты точек пересечения равны

Область R представлена на рисунке 5 выше. Будем рассматривать ее как область типа II. Для вычисления площади преобразуем уравнения границ:

Получаем

Физические приложения двойных интегралов

Масса и статические моменты пластины Предположим, что плоская пластина изготовлена из неоднородного материала и занимает область R в плоскости Oxy. Пусть плотность пластины в точке (x, y) в области R равна

. Тогда масса пластины выражается через двойной интеграл в виде

Статический момент пластины относительно оси Ox определяется формулой

Аналогично находится статический момент пластины относительно оси Oy :

Координаты центра масс пластины, занимающей область R в плоскости Oxy с плотностью, распределенной по закону

, описываются формулами

Для однородной пластины с плотностью

для всех (x, y) в области R центр масс определяется только формой области и называется центроидом. Моменты инерции пластины Момент инерции пластины относительно оси Ox выражается формулой

Аналогично вычисляется момент инерции пластины относительно оси Oy :

Полярный момент инерции пластины равен

Заряд пластины Предположим, что электрический заряд распределен по области R в плоскости Oxy и его плотность распределения задана функцией

. Тогда полный заряд пластины Q определяется выражением

Среднее значение функции Приведем также формулу дял расчета среднего значения некоторой распределенной величины. Пусть f (x,y)является непрерывной функцией в замкнутой области R в плоскости Oxy. Среднее значение функции μфункции f (x,y) в области R определяется формулой