Связь между двойными и повторными интегралами

Дата добавления: 2015-06-12; просмотров: 4183; Нарушение авторских прав

Пусть f (x,y) является непрерывной функцией в области R типа I:

Тогда двойной интеграл от функции f (x,y) в данной области выражается через повторный интеграл в виде

Для области интегрирования типа II существует аналогичная формула. Если f (x,y) является непрерывной функцией в области R типа II:

то справедливо соотношение

Приведенные формулы (в англоязычной литературе они известны как теорема Фубини) позволяют вычислять двойные

интегралы через повторные. В повторных интегралах сначала находится внутренний интеграл, а затем - внешний.

Пример 1

Найти повторный интеграл

. Решение. Сначала вычислим внутренний интеграл и затем внешний.

Пример 2

Найти повторный интеграл

. Решение. Здесь область интегрирования относится к типу II (является элементарной относительно оси Ox). Вычисляя сначала внутренний интеграл по x, и затем внешний по y, получаем

Пример 3

Вычислить

. Решение. Запишем повторный интеграл в виде

Чтобы найти внутренний интеграл в квадратных скобках, сделаем замену:

Если

, то

, и, соответственно, если

, то

. Тогда

Пример 4

Вычислить

. Решение. Вычисляя внутренний интеграл, получаем

Далее используем интегрирование по частям:

. Пусть

. Тогда

Подставляя это, получаем

Наконец вычислим последний интеграл:

Окончательный ответ:

Пример 5

Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

. Решение. Область интегрирования относится к типу I (рисунок 3). Она представляет собой треугольник, ограниченный прямыми

или

. Переменная x изменяется в интервале

. Изменяя порядок интегрирования, исходный интеграл можно записать в виде суммы следующих двух повторных интегралов:


Рис.3

Двойные интегралы в прямоугольной области

Пусть область интегрирования R представляет собой прямоугольник

. Тогда двойной интеграл в такой области выражается через повторный интеграл в следующем виде:

В данном случае область интегрирования R относится одновременно к типу I и II, так что у нас есть возможность выбирать, по какой переменной (x или y) начинать интегрировать функцию f (x,y). Обычно удобнее начинать с более простого интеграла. В частном случае, когда подынтегральная функция f (x,y) "расщепляется" на произведение f (x)g(y), двойной интеграл равен произведению двух определенных интегралов:

Пример 1

Вычислить двойной интеграл

в области

. Решение. Как видно, подынтегральная функция f (x,y) представляет собой произведение f (x)g(y). Следовательно, интеграл равен

Пример 2

Вычислить двойной интеграл

, заданный в области

. Решение. Поскольку функция f (x,y) представляет собой произведение f (x)g(y), интеграл равен

Пример 3

Вычислить интеграл

, заданный в области

. Решение. Выражая двойной интеграл через повторный (в котором внутренний интеграл зависит от x), получаем

Пример 4

Вычислить интеграл

в области .

Решение. В данном случае также удобно сначала проинтегрировать по x и затем по y.

Пример 5

Вычислить интеграл

, заданный в области

. Решение. Выразим двойной интеграл через повторный. Сначала проинтегрируем по x, затем по y.

Мы можем поменять порядок интегрирования. Результат, разумеется, не изменится.

Двойные интегралы в произвольной области

Пусть область интегрирования R типа I (элементарная относительно оси Oy) ограничена графиками функций

. При этом выполняются неравенства

для всех

. Тогда двойной интеграл по области R выражается через повторный по формуле

Аналогичное соотношение существует и для области типа II. Пусть область интегрирования R типа II (элементарная относительно оси Ox) ограничена графиками функций

при условии, что

для всех

. Тогда двойной интеграл, заданный в области R, выражается через повторный интеграл по формуле

При решении задач иногда полезно разбить исходную область интегрирования R на две или более областей и вычислять двойной интеграл в каждой области отдельно.

Пример 1

Вычислить интеграл

. Область интегрирования R ограничена графиками функций

. Решение. Область интегрирования R задана множеством

и относится к типу I (рисунок 1). Выразим двойной интеграл через повторный:

Вычислим сначала внутренний интеграл.

Теперь найдем внешний интеграл.


Рис.1		Рис.2

Пример 2

Вычислить интеграл

. Область интегрирования R ограничена прямыми

. Решение. Область R представляется в виде множества

(рисунок 2) и является областью I типа (элементарной относительно оси Oy). Преобразуя двойной интеграл в повторный, получаем:

Пример 3

Вычислить интеграл

, в котором область интегрирования R ограничена графиками функций

. Решение. Область R показана ниже на рисунке 3. Кривая

и линейная функция

пересекаются в точке (1,1). Следовательно, двойной интеграл равен


Рис.3		Рис.4

Пример 4

Найти интеграл

, где область R представляет собой сегмент окружности. Границы сегмента заданы уравнениями

. Решение. Окружность

имеет радиус 2 и центр в начале координат. Область интегрирования показана на рисунке 4. Поскольку верхняя полуокружность описывается уравнением

, то двойной интеграл вычисляется следующим образом:

Пример 5

Найти интеграл

, заданный в области R, ограниченной прямыми

. Решение. Область интегрирования R показана ниже на рисунке 5. Рассматривая ее как область типа II (элементарную относительно оси Ox, двойной интеграл можно преобразовать в повторный и вычислить следующим образом:


Рис.5		Рис.6

Пример 6

Найти интеграл

, где R ограничена прямой

и параболой

. Решение. Область интегрирования изображена выше на рисунке 6. Найдем точки пересечения прямой и параболы.

Следовательно, линии, ограничивающие область R, пересекаются в точках (−3,−6) и (1,2). Тогда исходный двойной интеграл равен

Пример 7

Найти интеграл

, где область R ограничена линиями

. Решение. Область интегрирования описывается множеством

и показана ниже на рисунке 7. Двойной интеграл равен

Для вычисления последнего интеграла сделаем замену

Если x = 0, то z = 0. Соответственно, при x = 1 имеем z = 1. Тогда интеграл легко вычисляется:


Рис.7		Рис.8

Пример 8

Вычислить интеграл

. Область интегрирования представляет собой треугольник с вершинами O (0,0), B (0,1) и C (1,1). Решение. Область R показана выше на рисунке 8. Очевидно, уравнение стороны треугольника OC имеет вид y = x, а уравнение стороны BC равно y = 1. Рассматривая R как область типа I, получаем

Полученный внешний интеграл вычислим с помощью интегрирования по частям. Пусть

. Тогда

. Следовательно,

Пример 9

Вычислить интеграл

, где область R представляет собой параллелограмм со сторонами

, a − некоторый параметр. Решение. Будем рассматривать R как область типа II (элементарную относительно оси Ox). Схематически она изображена внизу на рисунке 9. При изменении координаты y от a до 2a, координата x принимает значения между x = y − a и x = y. Поэтому двойной интеграл равен

Замена переменных в двойных интегралах

Для вычисления двойного интеграла

иногда удобнее перейти в другую систему координат. Это может быть обусловлено формой области интегрирования или сложностью подынтегральной функции. В новой системе координат вычисление двойного интеграла значительно упрощается. Замена переменных в двойном интеграле описывается формулой

где выражение

представляет собой так называемый якобиан преобразования

, а S − образ области интегрирования R, который можно найти с помощью подстановки

в определение области R. Отметим, что в приведенной выше формуле

означает абсолютное значение соответствующего определителя. Предполагая, что преобразование координат

является взаимно-однозначным, обратное соотношение описывается якобианом

при условии, что знаменатель нигде не равен 0. Итак, замена переменных в двойном интеграле производится с помощью следующих трех шагов: 1. Найти образ S в новой системе координат

для исходной области интегрирования R; 2. Вычислить якобиан преобразования

и записать дифференциал в новых переменных

3. Заменить в подынтегральном выражении исходные переменные x и y, выполнив, соответственно, подстановки

Пример 1

Вычислить двойной интеграл

, в котором область определения R ограничена прямыми

. Решение. Область R схематически показана на рисунке 1. Для упрощения интеграла выполним замену переменных. Полагая

, получаем

Следовательно, образ S области R имеет вид прямоугольника, как показано на рисунке 2.


Рис.1		Рис.2

Определим якобиан данного преобразования.

Тогда

Следовательно, дифференциал преобразуется следующим образом:

В новых переменных интеграл вычисляется намного легче:

Пример 2

Вычислить двойной интеграл

, в котором область интегрирования R ограничена прямыми линиями

. Решение. Область интегрирования R имеет вид неправильного треугольника и показана на рисунке 3. Чтобы упростить ее, введем новые переменные:

. Выразим x, y через u, v и определим образ области интегрирования S в новой системе координат. Легко видеть, что


Рис.3		Рис.4

Заметим, что

Следовательно,

Таким образом, мы получаем

Если , то . Соответственно, если , то . Область S имеет вид прямоугольного треугольника

(рисунок 4 выше).

Уравнение стороны можно переписать в виде

Найдем якобиан.

Следовательно, и двойной интеграл становится равным

Двойные интегралы в полярных координатах

Одним из частных случаев замены переменных является переход из декартовой в полярную систему координат (рисунок 1).


Рис.1		Рис.2

Якобиан такого преобразования имеет вид

Следовательно, дифференциальный элемент в полярных координатах будет равен

Пусть область интегрирования R в полярных координатах определяется следующим образом (рисунок 2):

Тогда двойной интеграл в полярных координатах описывается формулой

Будем называть полярным прямоугольником область интегрирования, показанную на рисунке 3 и удовлетворяющую

условиям

В этом случае формула замены переменных в двойном интеграле имеет вид

Будьте внимательны, чтобы не пропустить сомножитель (якобиан) r в правой части этой формулы!


Рис.3		Рис.4

Пример 1

Вычислить двойной интеграл

, преобразовав его в полярные координаты. Область интегрирования R представляет собой сектор

круга радиусом

. Решение. Область R в полярных координатах описывается множеством

(рисунок 4). Применяя формулу

получаем

Пример 2

Вычислить интеграл

, в котором область интегрирования R представляет собой кольцо, ограниченное окружностями

. Решение. В полярных координатах область интегрирования R является полярным прямоугольником (рисунок 5):


Рис.5		Рис.6

Тогда, используя формулу

находим значение интеграла

Геометрические приложения двойных интегралов

Площадь плоской фигуры Если f (x,y) = 1 в интеграле

, то двойной интеграл равен площади области интегрирования R. Площадь области типа I (элементарной относительно оси Оy) (рисунок 1) выражается через повторный интеграл в виде

Аналогично, площадь области типа II (элементарной относительно оси Оx) (рисунок 2) описывается формулой


Рис.1		Рис.2

<== предыдущая лекция	\|	следующая лекция ==>
Тестирование архиваторов	\|	Объем тела