ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ №2

«Дифференциальные уравнения»

Вариант 0

I. Решить уравнение .

II. Найти общее решение уравнения .

III. Найти общее решение уравнения:

а)

б)

IV. Найти общее решение уравнения (без нахождения неопределенных коэффициентов).

а)

б)

V. Решить задачу Коши.

y(0) = 0 ; y’ (0) = 0

VI. Найти общее решение уравнения методом вариации произвольных постоянных.

Решение.

I.

Разделим обе части уравнения на х³, получим

Правая часть этого уравнения есть функция отношения ,

следовательно , это однородное уравнение.

Обозначим и

Имеем:

- это уравнение с разделяющимися переменными

Интегрируем:

. Подставим

Если константу С записать в другом виде « », то общее решение будет иметь вид:

В процессе решения мы делили обе части уравнения на х³≠0 и u³ ≠0 и могли потерять решения х=0 и u=0 ( u=0 =0 y=0)

Непосредственной проверкой убеждаемся , что х = 0не является решением; а у = 0 – решение, которое не входит в общий интеграл ни при каком С

Имеем ответ: ; у=0.

II.

Это линейное уравнение

Пусть

Имеем

– уравнение с разделяющими переменными.

,

т.к

, подставим найденное u

Интегрируем

Тогда

Ответ:

III. a)

Это уравнение второго порядка, не содержащее функцию у.

Положим

Уравнение имеет вид – это уравнение с разделяющимися переменными. .

Вернемся к у , получаем

Это и будет ответом.

б)

Это уравнение второго порядка, не содержащее Х.

Положим

Имеем p (p’ 2y) = 0

1) p = 0 = 0 y = C

2)

Ответ: y=C;

IV. а)

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

1) Рассмотрим однородное уравнение:

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни

k³ - 5k = 0 k(k²-5) = 0 k₁ = 0 k_2,3 = ±

Следовательно ,

- oбщее решение однородного уравнения в случае действительных различных корней характеристического уравнения.

2) Правая часть неоднородного уравнения ; – многочлен нулевой степени, (α – не является корнем характеристического уравнения). Тогда – частное решение неоднородного уравнения.

3) Найдем неопределенный коэффициент А

Имеем

Подставим найденные производные в исходное уравнение

. Известно, что

Ответ:

б) Найти вид общего решения уравнения

1). Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

если корни характеристического уравнения комплексны α±β , то

2). Правая часть уравнения имеет вид:

, где

- многочлен степени 2

- многочлен степени 1

Для правой части нашего уравнения

,

здесь многочлен 2-ой степени c неопределенными коэффициентами.

3) Общее решение неоднородного уравнения y_0н есть сумма общего решения однородного уравнения y₀₀ и частного решения неоднородного уравнения y_чн y_0н=y₀₀+y_чн

Имеем

V. ; ;

1) Найдем y₀₀ для уравнения

Характеристическое уравнение k² - 2k = 0 k₁ = 0; k₂ = 2

Корни действительны и различны, следовательно,

2) Найдем y_чн , ; – многочлен, α = 0.

Значит,

Множитель Х появляется из-за того, что α = 0 есть однократный корень характеристического уравнения.

3) Найдем коэффициенты A, B, C

Подставим в уравнение

Отсюда: →