Указания к выполнению КДЗ.

1. Каждое контрольное домашнее задание должно выполняться в отдельной тонкой тетради в клетку, чернилами черного или синего цвета. Необходимо оставлять поля шириной 6 см. для замечаний преподавателя.

2. На титульном листе тетради должны быть четко написаны фамилия студента, его инициалы, название дисциплины, номер выполняемого варианта. Как правило, номер варианта задается преподавателем.

3. Решения задач нужно располагать в порядке возрастания их номеров, обязательно записывая условия каждой задачи.

4. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.

5. Оформление решения задачи следует завершать словом «Ответ».

6. После получения проверенной преподавателем работы студент должен в этой же тетради исправить все отмеченные ошибки и недочеты. Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается.

ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ №1

«Неопределенный и определенный интеграл»

Вариант 0

I. Вычислить интегралы:

II. Вычислить определённые интегралы:

1.

2. ;

3.

III. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:

1.

IV. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:

1. ; y=1

I.Решение

1. = = (получили сумму табличных интегралов )

= + c

2. = = arcsin

3. = = = x + sinx + c

4. = =

5. = 3 = 3

Для вычисления этих интегралов пользовались основной таблицей интегралов, формулами тригонометрии, действиями со степенями и дробями.

6. =

известно, что ) = , тогда

имеем свойство дифференциала

т.е.

= (-cos (1- )) + c = cos (1- ) + c

7. = =

=

имеем формулу sin , тогда

= =

=

9. =

выделим полный квадрат в знаменателе

=

= =

10. =

воспользуемся формулой интегрирования по частям

Пусть →

dV = dx → V=x

Имеем:

посчитаем получившийся интеграл =

, замена

= = = = t arctgt =

Получаем:

II. Вычислить определенные интегралы.

Нам понадобятся формула Ньютона-Лейбница

и правила пользования заменой и формулой интегрирования по частям

в определённом интеграле.

1. )

2. =

т. к. , то

Необходимо пересчитать пределы интегрирования

= = =

=

III. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.

1.

=

Подинтегральная функция имеет разрыв (не определена) в точке . Тогда

Следовательно, интеграл расходится.

2.

Известно, что

III. Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями.

S -2 A B a b 1.

Сделаем рисунок. Кривые заданы в декартовой системе координат, следовательно, Найдем пределы интегрирования . Для этого решим совместно

Получаем

S =

2.

Сделаем рисунок. Кривая задана в полярных координатах.

S	Это известная кривая – четырехлистник, которую можно построить по точкам. Но воспользуемся ее свойствами.     Удобнее записать Имеем 4 зоны, т.е. 4 лепестка.

Воспользуемся симметричностью этих лепестков. Тогда вся площадь , где – заштрихованная площадь.

Здесь меняется в интервале . Имеем:

Тогда S =