Аппроксимация и интерполяция данных

Пусть зависимость между переменными величинами x и y выражается в виде экспериментально полученной таблицы:

Если аналитическое выражение зависимости y = f(x) неизвестно или очень сложно, то возникает задача аппроксимации, т.е. задача нахождения такой достаточно простой функции y = F(x), значения которой на отрезке [a;b], содержащем точки x_i, i = 0,…, n, возможно мало отличаются от значений искомой функции. Требование точного совпадения y_i = F(x_i) приводит к задаче интерполирования.

Полиномиальная аппроксимацияизмерений, которые сформированы как некоторый вектор Y, при значениях аргумента, которые образуют вектор X такой же длины, что и Y, осуществляется командой polyfit(X,Y,n) по методу наименьших квадратов. Здесь n – порядок аппроксимирующего полинома. Результатом действия этой процедуры является вектор длины (n+1) коэффициентов аппроксимирующего полинома.

Пусть функция f(x) задана таблично:

Применяя команду polyfit при различных значениях порядка аппроксимирующего полинома, получим:

>> x=1:8;

>> y=[-1.1 .2 .5 .8 .7 .6 .4 .1];

>> p1=polyfit(x,y,1)

p1 =

0.1143 -0.2393

>> p2=polyfit(x,y,2)

p2 =

-0.1024 1.0357 -1.7750

>> p3=polyfit(x,y,3)

p3 =

0.0177 -0.3410 1.9461 -2.6500

>> p4=polyfit(x,y,4)

p4 =

-0.0044 0.0961 -0.8146 3.0326 -3.3893

Это означает, что заданную табличную зависимость можно аппроксимировать:

прямой y(x) = 0,1143x – 0,2393;

квадратной параболой y(x) = -0,1024x²+1,0357x – 1,7750;

кубической параболой y(x) = 0,0177x³ – 0,3410x²+1,9461x – 2,6500;

или параболой четвертой степени

y(x) = -0.0044x⁴+0.0961x³ - 0.8146x²+3.0326x - 3.3893.

Построим в одном графическом окне графики заданной дискретной функции и графики трех первых полученных при аппроксимации полиномов:

>> plot(x,y,'ko');

>> hold

>> x1=.5:.05:8.5;

>> y1=polyval(p1,x1);

>> y2=polyval(p2,x1);

>> y3=polyval(p3,x1);

>> plot(x1,y1,'k-',x1,y2,'g.',x1,y3,'b:')

>> legend('table','n=1','n=2','n=3')

>> grid

В результате получается график, изображенный на рис. 6.6.

Рис. 6.6

Одномерную табличную интерполяцию производит команда interp1. Обращение к ней в общем случае имеет вид Yi=interp1(X,Y,Xi, метод) и позволяет дополнительно указать метод интерполяции в четвертом аргументе: nearest – ступенчатая интерполяция; linear – линейная; spline – кубическими сплайнами. Она интерполирует значения вектора Y, заданного при значениях аргумента, представленных в векторе X, и выдает значения интерполирующей функции в виде вектора Y_i при значениях аргумента, заданных вектором X_i.

Ниже приведен текст файл-программы для сравнения различных способов интерполирования, выполнение которой приводит к появлению графиков, изображенных на рис. 6.7:

>> x=[0.1 0.3 0.4 0.6 0.9 1.2];

>> y=[4 4.5 2 -2.9 -0.9 -0.2];

>> plot(x,y,'ko')

xi=[0.1:0.01:1.2];

y1=interp1(x,y,xi,'nearest');

y2=interp1(x,y,xi,'linear');

y3=interp1(x,y,xi,'spline');

hold

Current plot held

>> plot(xi,y1,'k',xi,y2,'k:',xi,y3,'k-.')

legend('table','nearest','linear','spline',4)

grid on

Рис. 6.7