Типовой расчёт № 4
Образец решения типового расчёта № 4.
Задание 1. Найти неопределённые интегралы:
1.1. 
.
Решение. Применим способ внесения выражения под знак дифференциала: 
.
1.2. 
.
Решение. Преобразуем подынтегральное выражение:
.
1.3. 
Сведём данный интеграл к табличному:
.
1.4. 
;
Решение. Применяем способ подстановки:
.
1.5. 
.
Решение. Применяем способ подстановки:
.
1.6. 
.
Решение. Введём подстановку 
. Получим:
.
1.7. 
.
Решение. Применим формулу интегрирования по частям: 
. В данном случае: 
. Подставляя эти выражения в формулу, получим:
.
1.8. 
.
Решение. Введем подстановку 
, откуда 
. Тогда 
. Находим полученный табличный интеграл и возвращаемся к прежней переменной:
.
1.9. 
;
Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:
. Введём подстановку 
, тогда 
и получим: 
= 
.
1.10. 
.
Решение. Преобразуем подынтегральное выражение:
Введём подстановку , тогда . Получим:
.
Задание 2. Вычислить определённые интегралы:
2.1. 
.
Решение. 
.
2.2. 
.
Решение. 
.
2.3. 
.
Решение. 
.
Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:
.
Решение. Точка 
является особой точкой, поскольку подынтегральная функция имеет в ней бесконечный разрыв. Поэтому:
- получили бесконечный предел.
Таким образом, данный интеграл расходится.
Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
Решение. Площадь данной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, образованных прямой 
и гиперболой 
на отрезке 
.
.
Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:
.
Решение. Используем формулу для нахождения объёма тел вращения: 
.
.
Вариант № 1.
Задание 1. Найти неопределённые интегралы:
1.1. 
; 1.2. 
; 1.3. 
; 1.4. 
; 1.5. 
;
1.6. ; 1.7. 
; 1.8. 
; 1.9. 
; 1.10. 
.
Задание 2. Вычислить определённые интегралы:
2.1. 
; 2.2. 
; 2.3. 
.
Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:
.
Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: 
.
Вариант № 2.
Задание 1. Найти неопределённые интегралы:
1.1. 
; 1.2. 
; 1.3. 
; 1.4. 
; 1.5. 
;
1.6. 
; 1.7. 
; 1.8. 
; 1.9. 
; 1.10. 
.
Задание 2. Вычислить определённые интегралы:
2.1. 
; 2.2. ; 2.3. 
.
Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:
.
Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: 
.
Вариант № 3.
Задание 1. Найти неопределённые интегралы:
1.1. 
; 1.2. 
; 1.3. 
; 1.4. 
; 1.5. 
;
1.6. 
; 1.7. 
; 1.8. 
; 1.9. 
; 1.10. 
.
Задание 2. Вычислить определённые интегралы:
2.1. 
; 2.2. 
; 2.3. 
.
Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:
.
Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: 
.
Вариант № 4.
Задание 1. Найти неопределённые интегралы:
1.1. 
; 1.2. 
; 1.3. 
; 1.4. 
; 1.5. 
;
1.6. 
; 1.7. 
; 1.8. 
; 1.9. 
; 1.10. 
.
Задание 2. Вычислить определённые интегралы:
2.1. 
; 2.2. 
; 2.3. 
.
Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:
.
Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: 
.
Вариант № 5.
Задание 1. Найти неопределённые интегралы:
1.1. 
; 1.2. ; 1.3. 
; 1.4. 
; 1.5. 
;
1.6. 
; 1.7. 
; 1.8. 
; 1.9. 
; 1.10. 
.
Задание 2. Вычислить определённые интегралы:
2.1. 
; 2.2. 
; 2.3. 
.
Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:
.
Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: 
.
Вариант № 6.
Задание 1. Найти неопределённые интегралы:
1.1. 
; 1.2. 
; 1.3. 
; 1.4. 
; 1.5. 
;
1.6. 
; 1.7. 
; 1.8. 
; 1.9. 
; 1.10. 
.
Задание 2. Вычислить определённые интегралы:
2.1. 
; 2.2. 
; 2.3. 
.
Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:
.
Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: 
.
Вариант № 7.
Задание 1. Найти неопределённые интегралы:
1.1. 
; 1.2. 
; 1.3. 
; 1.4. 
; 1.5. 
;
1.6. 
; 1.7. 
; 1.8. 
; 1.9. ; 1.10. .
Задание 2. Вычислить определённые интегралы:
2.1. 
; 2.2. 
; 2.3. 
.
Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:
.
Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: 
.
Вариант № 8.
Задание 1. Найти неопределённые интегралы:
1.1. 
; 1.2. 
; 1.3. 
; 1.4. 
; 1.5. 
;
1.6. 
; 1.7. 
; 1.8. 
; 1.9. 
; 1.10. .
Задание 2. Вычислить определённые интегралы:
2.1. 
; 2.2. 
; 2.3. 
.
Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:
.
Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями: .
Вариант № 9.
Задание 1. Найти неопределённые интегралы:
1.1. 
; 1.2. 
; 1.3. 
; 1.4. 
; 1.5. 
;
1.6. 
; 1.7. 
; 1.8. 
; 1.9. 
; 1.10. 
.
Задание 2. Вычислить определённые интегралы:
2.1. 
; 2.2. 
; 2.3. 
.
Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:
.
Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями: .
Вариант № 10.
Задание 1. Найти неопределённые интегралы:
1.1. 
; 1.2. 
; 1.3. 
; 1.4. 
; 1.5. 
;
1.6. 
; 1.7. ; 1.8. 
; 1.9. 
; 1.10. 
.
Задание 2. Вычислить определённые интегралы:
2.1. 
; 2.2. 
; 2.3. 
.
Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:
.
Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями: .
Вариант № 11.
Задание 1. Найти неопределённые интегралы:
1.1. ; 1.2. ; 1.3. ; 1.4. ; 1.5. ;
1.6. ; 1.7. 
; 1.8. ; 1.9. ; 1.10. .
Задание 2. Вычислить определённые интегралы:
2.1. ; 2.2. ; 2.3. .
Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:
.
Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .
Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: .
