Відомості з математики.

Комплексне числення та теорія функцій комплексних змінних, які вивчаються студентами в курсі вищої математики, надзвичайно широко застосовуються при розв’язуванні радіотехнічних задач. Більш детально з питаннями застосування комплексного чис­лення студенти будуть знайомитись в курсах “Основи теорії кіл”, “Радіотехнічні кола та сигнали”.

Комплексним називається число вигляду

Z = a + jb, (1)

де уявна одиниця (в математичних роботах уявну одиницю часто позначають літерою і), a=Re(Z) - дійсна частина комплексного числа; b=Im(Z) - ­уявна частина комплексного числа. Зображається комплексне число точкою на комплексній площині з координатами (а,b) або (Re(Z), Im(Z)) (Рис. 5.3). По осі абсцис прийнято відкладати значення дійс­ної частини комплексного числа, по осі ординат - уявної частини.

Рис. 5.3. Зображення комплексних чисел на площині.

Як видно з Рис. 5.3 комплексні числа можуть бути задані також радіус-вектором, проведеним з початку системи координат до точки, яка зображає комплексне число. Радіус-вектор характеризується довжи­ною і напрямом, який може бути заданий кутом нахилу радіус-векто­ра до дійсної осі. Стосовно до комплексних чисел довжину раді­ус-вектора називають модулем комплексного числа і позначають |Z|, Mod(Z) або просто Z. Кут j має назву аргументу комплексного числа і позначається Arg(Z), j(Z) або інколи просто j (в кожному випадку позначення не повинно давати можливості багатозначного трактування).

Модуль комплексного числа може приймати довільні невід’ємні дійсні значення, аргумент – додатні або від’ємні значення кута в інтервалі [–p, p]. Додатні кути прийнято відраховувати проти го­динникової стрілки, від’ємні - за годинниковою стрілкою (на Рис. 5.3 Arg(Z₂)<0), з утворених перпендикулярами до осей прямокутних трикутників легко знайти взаємозв’язок між координатами зображаючої точки та параметрами радіус-вектора. Необхідно звернути особливу увагу на визначення значення k при розрахунку аргументу. На Рис. 5.4 комплексна площина розбита на чотири квадранти осями координат і для кожного квадранту вказано значення k.

(2)

(3)

(4)

(5)

Рис. 5.4. Основні залежності для обчислення параметрів комплексних чисел.

Враховуючи формулу Ейлера e^jx=cos(x)+j*sin(x), можна записати всі три форми подання комплексних чисел, які використовують в математиці:

a+jb = M×cos j + jM×sin j = M×e^jj.

Перша з них називається алгебраїчною, друга - тригонометрич­ною, остання - показниковою формою. Алгебраїчна форма подає інформацію про дійсну та уявну частини комлпексного числа, тригонометрична та показникова - про його модуль та аргумент.

Над комплексними числами визначені ті ж операції, що й над дійсними числами: додавання, віднімання, множення, ділення, під­несення до степені та інші. Формальний запис операцій аналогічний запису операцій над дійсними числами

Z=Z ₁+Z ₂; Z=Z ₁-Z ₂; Z =Z ₁×Z ₂; Z =Z ₁/Z ₂; .

Із операцій порівняння комплексних чисел визначена лише перевірка їх рівності або нерівності. Два комплексних числа вважаються рівними, коли рівні їх дійсні і уявні частини відповідно. Відношення “більше” або “менше” над комплексними числами не виз­начені.

Правила розрахунку дійсної та уявної частини, модуля та аргументу результату виконання перелічених операцій зведені в Табл. 5.1.

Табл. 5.1. Вирази для розрахунку дій над комплексним числом.