Основные соотношения теории многочастотной дискретизации.

Основы теории многоскоростной фильтрации (многоскоростной обработки сигналов) и описание приложений можно найти в [1-4].

В качестве базовых при многочастотной дискретизации используются:

M-кратный дециматор (рис. 1), где Y_D(n) = x(Mn);

L-кратный интерполятор (рис. 2), где

Таким образом, частота дискретизации f_s сигнала x(n) связана с частотой дискретизации f'_s соотношением Mf'_s = f'_s , или соотношением периодов дискретизации T' = MT. Частоты дискретизации сигналов x(n) (частота f_s ) и y_l(n) (частота f_s ) при интерполяции связаны соотношениями f'_s = Lf_s или T = LT'.

Пример децимации сигнала x(n) при M = 2: отсчёты сигнала до (а) и после (б) децимации.

Рис 3.

Пример интерполяции сигнала x(n) при L = 2: отсчёты сигнала до (а) и после (б) интерполяции

Рис 4.

При децимации и интерполяции сигнала происходит деформация спектров.
Для децимации

где z = ejw , а

и, следовательно,

где нормированная частота w = wT', а T' - период дискретизации после децимации. Он будет в M раз больше, так что в шкале ненормированных частот получим

Учитывая, что T' = MT , можно записать окончательное соотношение между спектрами децимированного сигнала Y_D(e^jw) и исходного X(e^jw):

Для интерполяции Y_I(z) = X(z^L) или Y_I(e^jw) = X(e^jwL) или Y_I(e^jw) = X(e^jwL).
Таким образом, спектр децимированного сигнала является взвешенной суммой исходного спектра X(e^jw) и его (M–1) сдвинутых по частоте копий (отражений) с шагом 2Пw_s/M. Спектр же интерполированного сигнала является спектром исходного сигнала с изменённым периодом по частоте. Период увеличивается в L раз.
Учитывая упомянутые выше свойства спектра, необходимо перед децимацией ставить фильтр децимации, чтобы исключить наложения спектра, а для интерполяции - фильтр интерполяции для устранения отражений, то есть тех дополнительных компонент спектра, которые попали в рабочую полосу [0,F_N] за счёт увеличения периода спектра.
Замечательные тождества. При построении систем с многочастотной дискретизацией очень полезны преобразования, изображённые на рисунках. Они полезны во многих случаях при реализации фильтров, что будет продемонстрировано в следующем разделе.

Рис 5.

Рис 6.

Полифазное разбиение и полифазные фильтры. Передаточная функция нерекурсивного (КИХ - конечной импульсной характеристики) фильтра

может быть представлено суммой

H(z) = h(0) + h(2)z-2 + ...
+ h(1)z-1 + h(3)z-3 + ... или
H(z) = h(0) + h(2)z-2 + ...
+ z-1 (H(1) + h(3)z-2 + ...) = E0(z2) + E1(z2) .

Смысл многочленов E₀ и E₁ понятен из контекста.Если E₀ и E₁ рассматривать как передаточные функции КИХ-фильтров, то нетрудно заметить, что базовым элементом задержки таких фильтров является z^-2, обеспечивающий задержку на два такта. Следовательно, фильтры E₀ и E₁ могут работать на частоте дискретизации, в два раза меньшей исходной. Если использовать разложения по степеням z^-3 или z^-4 и так далее, то можно получить блоки фильтров, работающие на ещё более низких частотах дискретизации. Итоговая схема фильтра, когда H(z) = E0(z2) + z-1E1(z2) ,показана на рисунке 7.

Рассмотренное разбиение называется полифазным, а реализующие его схемы - полифазными фильтрами.В качестве примера, иллюстрирующего построение полифазного фильтра и использование замечательных тождеств, покажем, как можно эффективно реализовать КИХ-фильтр дециматор.

Рис 8.

В схеме рис. 8 для вычисления каждого отсчёта необходимо выполнить N+1 умножений и N сложений. В то же время, за счёт децимации (M = 2) половину результатов отсчётов мы отбрасываем и, следовательно, используем ресурсы вычислителя неэффективно.Построим фильтр на основе полифазного разбиения (полифазный фильтр, рис. 7) и воспользуемся замечательным тождеством (рис. 5). Последовательность преобразований при этом показана на рис. 9.

Рис. 9

В результате фильтры E₀(z²) и E₁(z²), работающие на частоте f_s, заменяются фильтрами E₀(z) и E₁(z), работающими на частоте f_s/2. Таким образом мы получим двукратную эконом ию в скорости вычислений. При коэффициенте децимации M применение полифазных фильтров позволяет получить экономию в M раз. Аналогичные результаты получаются и при полифазном построении фильтров интерполяторов [1,2]. Таким образом, полифазные реализации в совокупности с рациональными преобразованиями схем фильтров позволяют строить эффективные вычислители в задачах ЦОС.