Приращение длины трещины в процессе действия знакопеременной нагрузки

Джей-интеграл Райса

Задача. Вычислить приращение длины трещины, находящейся в поле знакопеременных напряжений, например, в процессе действия циклической нагрузки. Расчетная схема представлена на рисунке 11.1.1

Исходные данные: Циклическая нагрузка, создающая знакопеременные напряжения изменяется по закону

(11.1.1)

Решение.Напряженное состояние в устье трещины первого типа при заданной нагрузке выражается так:

, (11.1.2)

где K₁(t) - коэффициент интенсивности напряжений для трещины нормального отрыва

; ( 11.1.3)

r и θ - расстояние от вершины трещины и угол поворота относительно оси 0-x (полярная система координат);

p(ξ,t) - распределение нормальных напряжений на достаточно удаленном расстоянии от трещины.

Рисунок 11.1.1 – Рост трещины под действием динамической нагрузки

Соответствующие смещения имеют вид

, (11.1.4)

где G – модуль сдвига;

χ =(3 - ν)/(1+ ν ) для плоского напряженного состояния и χ =3 - 4ν для плоской деформации.

При заданном законе изменения нагрузки(11.1.1) коэффициент интенсивности напряжений в соответствии с (11.1.3) выражается так

(11.1..5)

В случае плоского напряженного состояния, когда объемные силы равны нулю и тепловой поток отсутствует, J-интеграл Райса имеет вид [1, ]:

(11.1.6)

где γ₀ - удельная поверхностная энергия,Дж/м²;

n_j – направляющие косинусы внешней нормали на участке интегрирования Г;

σ_i,j – тензор напряжений;

; i=1,2,3; j=1,2,3. (11.1.7)

- скорость продольных и угловых смещений. :

; (11.1.8)

ε_ij – относительные продольные и угловые деформации;

, (11.1.9)

составляющие:

; ; . (11.1.10)

Связь между декартовыми и полярными координатами

(11.1.11)

Операции дифференцирования:

(11.1.12)

(11.1.13)

Выберем путь интегрирования в виде окружности с центром в вершине трещины:

(11.1.14)

где r₀ – радиус контура интегрирования.

Перейдем в интеграле (11.1.6) к полярным координатам, принимая во внимание

; . (11.1.15)

Рассмотрим интегралы:

(11.1.6)

(11.1.17)

Величины, входящие в интегралы, вычисляются по формулам:

; (11.1.19)

; (11.1.20)

(11.1.21)

Производные по радиусу:

(11.1.22)

, (11.1.23)

где

(11.1.24)

. (11.1.25)

Производные по углу:

; (11.1.26)

. (11.1.27)

Приращение длины трещины за один цикл составляет

(11.1.28)

При расчете приращения длины трещины следует учитывать следующие особенности:

- рост трещины не может происходить на стадии действия сжимающей нагрузки несмотря на приток энергии в вершину трещины. Эта особенность соответствует физической природе механизма разрыва связей только под действием растягивающих напряжений или касательных. Поэтому при интегрировании на стадии действия сжимающих напряжений следует сжимающие напряжения приравнять нулю;

- после достижения трещиной максимального приращения, что достигается на стадии действия растягивающей нагрузки, в течение последующего времени длина трещины остается постоянной.

На рисунке 11.1.2 представлена программа расчета данной задачи. Как свидетельствует расчет, приращение длины трещины за один цикл составляет Δl=10 мм. Если первый полупериод действия нагрузки t=0...0,5Т описывает сжатие, то рост трещины происходит в течение времени t=0,5T...0,625T, что представлено на последнем графике рисунка 11.1.2 (продолжение 2). При t>0,625T, несмотря на действие растягивающих напряжений роста трещины не наблюдается, что объясняется поглощением энергии в процессе деформаций среды, около трещины.

Рисунок 11.1.2 – Программа расчета приращения трещины за один цикл действия нарузки

Рисунок 11.1.2 – Продолжение 1

Рисунок 11.1.2 – Продолжение 2