Тема «Производная элементарной функции» (лекция)

Производной функции в точке называется предел отношения приращении функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Производную функции обозначают одним из символов .

Значение производнойфункции в точке обозначается одним из символов: .

Функция , имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой в этом интервале.

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.

Процесс нахождения производной элементарной функции распадается на два этапа:

1) Правильный выбор нужной формулы или правила дифференцирования;

2) Применение выбранной формулы к заданной функции.

Выделяют несколько классов элементарных функций:

Ø Степенные;

Ø Показательные;

Ø Логарифмические;

Ø Тригонометрические;

Ø Обратные тригонометрические, а также их комбинации.

Пусть функции , и - дифференцируемые функции в некотором интервале .

Основные правила дифференцирования
Правило	Формула	Примеры
1. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных слагаемых
2. Постоянный множитель выноситься за знак производной
3. Производная постоянной величины равна нулю
4. Производная аргумента равна единице
5. Производная произведения равна производной первого множителя, умноженной на второй множитель, плюс производная второго множителя, умноженная на первый множитель
6. Производная дроби равна производной числителя, умноженной на знаменатель, минус производная знаменателя, умноженная на числитель, и все это разделено на квадрат знаменателя

Таблица производных элементарных функций
Элементарные функции	Формулы	Примеры
Производная степени	1.     2. 3.	a) b) c) d)
Производная показательной функции	1. 2.	e) f)
Производная логарифмической функции	1. 2.	g) h)
Производная тригонометрических функций.	1. 3. 2. 4.	i) j)
Производные обратных тригонометрических функций.	1. 2. 3. 4.	k) l)

Пример 1.

Решение.

Пример 2.

Решение.

задания для самостоятельной работы