В инженерной практике довольно часто приходится встречаться с обыкновенными дифференциальными уравнениями при решении различных прикладных задач. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется выражение вида
F(X,Y,Y',Y”,...,Y n-1 ,Y n ) = 0 , (1)
где Х - независимая переменная;
Y - искомая функция от Х;
Y',Y»,...,Yn -производные порядка 1,2,...,n.
Порядок старшей производной, входящей в уравнение (1), называется порядком дифференциального уравнения.
Простейшим обыкновенным дифференциальным уравнением является уравнение 1-го порядка
y'= f(x,y) (2).
Основная задача, относящаяся к этому уравнению, есть задача Коши: найти решение дифференциального уравнения (2) в виде у=у(х), удовлетворяющее начальному условию Y(Xo)=Yo, т.е. требуется найти интегральную кривую у=у(х), проходящую через заданную точку М(Хо,Yo).
Для нахождения решения дифференциального уравнения (1) необходимо задать такое количество начальных условий, какое соответствует порядку старшей производной, а именно задать значения
Yo=Y(Xo); Yo'=Y'(Xo),...,Y0n-1 = Yn-1 (Xo) (3)
Уравнение (1) называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид
Y(n) =f(X,Y,Y',Y»,...,Yn-1 ) (4)
Если дифференциальное уравнение (1) разрешимо относительно старшей производной, то его можно свести к системе обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка заменой на неизвестную функцию Р1(х), у» на Р2(х) и т.д.
Таким образом, имеем
y'=P1,
P1'=P2,
P2'=P3,
...
P'n-1 = f (x,y,P1,P2,...,Pn-1), причем
Y(Xo)=Yo
P1(Xo)=Yo'
P2(Xo)=Yo»
. . . . . . . . .
P n-1(Xo)=Yon-1 .
При решении инженерных задач чаще всего приходится иметь дело с уравнениями, общее решение которых не выражается в аналитическом виде. Поэтому возникает необходимость применять те или иные методы, дающие приближенное решение задачи.
6.1 Метод Эйлера
Метод численного решения дифференциального уравнения 1-го порядка
y'=f(x,y) (7)
с начальным условием Y(Xo)=Yo основан на разложении решения в ряд Тейлора в h-окрестности точки Хо:
При отбрасывании всех членов ряда, содержащих производные 2-го и высших порядков, получим
Y1 = Yo + h*f(Xo,Yo),
где f(x,y) - правая часть уравнения (7). Пользуясь значением Y1 из разложения y(x) в h –окрестности точки Х1=Хо+h, получим
Y2=Y1+h*f(X1,Y1),
аналогично продолжая для следующей Х i+1 точки, получим
Y i+1 = Yi+h*f(Xi,Yi). (8)
Если дано уравнение 2-го порядка
Y»=f(x,y,y') (9)
c начальными условиями Y(Xo)=Yo и Y'(Xo)=Yo', то такое уравнение можно свести к системе двух уравнений 1-го порядка
у'=P (10)
P'=f(x,y,y'),
причем
Y(Xo)=Yo, (11)
P(Xo)=Po=Yo'.
Тогда приближенные значения функций у и Р в точке можно вычислить
Yi+1 = Yi+h*Pi (12)
Pi+1 = Pi+h*f(Xi, Yi, Pi),
где f( Xi, Yi, Pi) - правая часть уравнения (9).
При достаточно малой величине шага h метод Эйлера дает решение с большой
точностью, т.к. погрешность решения близка к h2.
Разновидностью рассмотренного выше метода Эйлера, известного в литературе также как метод Эйлера-Коши, является метод Эйлера-Коши с итерациями. Он заключается в вычислении на каждом шаге начального значения
Y0i+1=Yi+hF(xi ,Yi).
Затем с помощью итерационной формулы
Yкi+1=Yi + + [ F(xi, Yi) + F(xi+1, ]
решение уточняется. Итерации проводят до тех пор, пока совпадает заданное число цифр результата на двух последних шагах итераций. Погрешность метода составляет примерно h3. Обычно число итераций не должно превышать 3-4, иначе нужно уменьшить шаг h.
Модифицированный метод Эйлера второго порядкареализуется следующими рекуррентными формулами:
Yi+1 = Yi + hF(xi + h/2, Y*i+1/2 ),
где Y*i+1/2 = Yi + hF(xi , Yi)/2 . Метод дает погрешность порядка h3 и имеет меньшее время вычислений, поскольку вместо нескольких итераций производится вычисление только одного значения Y*i+1/2.
Метод трапеций – одна из модификаций метода Эйлера второго порядка. Он реализуется применением на каждом шаге формулы
Yi+1 = Yi + 0.5(K1+K2)
где K1 = h F(xi,Yi);
K2 = h F(xi+h,Yi+K1)
и дает погрешность порядка h3. Этот метод относится к общим методам Рунге-Кутта.
(10)
+ [ F(xi, Yi) + F(xi+1, 
]