Моделирование системы массового обслуживания

Методы теории массового обслуживания применяются для ис­следования функционирования широкого класса систем. Однако ее аналитический аппарат позволяет получить достаточно полные ре­зультаты для сравнительно простых случаев.

Метод статистических испытаний дает возможность более полно, по сравнению с аналитическими методами, характеризовать за­висимость качества функционирования системы от параметров по­тока заявок и обслуживающей системы. При этом он допускает более широкие предположения о природе потоков заявок, структу­ре обслуживающей системы и дисциплине обслуживания, чем ана­литические методы. Например, он позволяет получить решение за­дач для многофазных систем при весьма общих предположениях об их структуре; доступных же аналитических методов исследова­ния многофазных систем в настоящее время нет.

Применение метода статистических испытаний для моделирова­ния процесса функционирования системы массового обслуживания рассмотрим на конкретном примере системы с отказами.

Система, в которую в отдельные случайные моменты времени поступают заявки, состоит из каналов (пунктов обслуживания). Поток заявок представляет собой простейший поток, интервал вре­мени между двумя последовательными событиями есть случай­ная величина, распределенная по экспоненциальному закону, и вычисляется по формуле:

,

где – интенсивность потока заявок (среднее число заявок в единицу времени);

– случайная величина, равномерно распределенная в ин­тервале .

Каждая заявка поступает для обслуживания в канал, который освободился раньше всех. Если есть каналы, освободившиеся одно­временно, заявка поступает в канал с меньшим номером. Время обслуживания -й заявки является случайной величиной, равномерно распределенной в интервале , и вычисляется по формуле:

.

Если в момент поступления заявки все каналы заняты, система выдает отказ.

-й канал

Рис.2.1. Показатели эффективности системы за время функционирования

Требуется определить показатели эффективности системы за время функционирования .

Рис. 2.2. Логическая схема алгоритма процесса обслуживания заявок

Введем следующие обозначения (рис. 2.1):

– момент поступления -й заявки;

– -й интервал между двумя последовательными заявками (между -й и заявками);

– момент освобождения -го канала:

За начальный примем момент поступления первой заявки .

В этот момент все каналы свободны .

На рис. 2 изображена логическая схема алгоритма, моделирующего процесс обслуживания заявок рассмотренной системы. Каждый оператор представляет, как правило, подалгоритм, реализующий в процессе моделирования определенную функцию системы.

Оператор 1 осуществляет ввод исходной информации: число каналов системы , параметры законов распределения потока заявок и времени обслуживания , время работы системы , заданное число испытаний .

Оператор 2 устанавливает перед началом каждого испытания значения и . Тем самым устанавливает начальное состояние системы и фиксируется факт появления первого требования.

Оператор 3 определяет, принадлежит ли -я заявка заданному интервалу времени функционирования системы. Если условие выполняется, заявка поступает на обслуживание, управление передается оператору 4. В противном случае испытание заканчивается и управление передается на счетчик числа испытаний.

Оператор 4 сравнивает между собой моменты освобождения каналов системы и выбирает канал, освободившийся раньше всех. Если есть каналы, освободившиеся одновременно, выбирается канал с меньшим номером. Пусть номер выбранного канала равен . Заявка поступает для обслуживания в этот канал. Очевидно, в каждом испытании первая заявка поступает в первый канал, вторая заявка – во второй канал, третья – в третий, так как в начальный момент .

Оператор 5 сравнивает момент освобождения выбранного канала с моментом поступления -й заявки . Если условие не выполняется, это означает, что все каналы к моменту заняты, система выдает отказ и управление передается оператору 6. Если же указанное условие выполняется, канал с номером свободен и управление передается оператору 10.

Оператор 6 представляет собой счетчик числа отказов, после каждого отказа показание счетчика увеличивается на единицу.

После отказа -й заявке необходимо формировать следующую заявку. Для этой цели предназначены операторы 7, 8 и 9.

Оператор 7 формирует поток заявок, то есть по формуле

определяет интервал времени между двумя последовательными заявками (между -й и ). Из формулы видно, что для определения оператор также формирует значения .

Оператор 8 формирует момент поступления следующей заявки

.

Оператор 9 формирует номер очередной заявки (за новым номером сохраняется прежнее обозначение ). С оператора 9 управление передается на оператор 3, где момент поступления новой заявки (за ним сохраняется прежнее обозначение ) сравнивается с временем , и начинается новый цикл.

Если условие , проверку которого осуществляет оператор 5, выполняется, то выбранный оператором 4 канал с номером свободен и заявка передается в этот канал для обслуживания. Дальше необходимо определить время обслуживания -й заявки, найти время освобождения канала, зафиксировать обслуженную заявку и формировать следующую заявку. Эту задачу выполняют операторы 10, 11 и 12.

Оператор 10 определяет время обслуживания -й заявки согласно формуле

.

Оператор 11 вычисляет время освобождения канала с номером по формуле

.

Оператор 12 представляет собой счетчик числа обслуженных заявок, после каждой обслуженной заявки показание счетчика увеличивается на единицу.

С оператора 12 управление передается на оператор 7 и дальше формируется следующая заявка так же, как и в рассмотрением случае отказа в обслуживании.

Если неравенство не выполняется (следовательно , это означает, что -я заявка уже не принадлежит заданному интервалу, и реализация на этом заканчивается.

Оператор 13 представляет собой счетчик числа испытаний.

Оператор 14 проверяет, получено ли уже заданное число испытаний . Если неравенство выполняется, управление передается оператору 15.

Оператор 15 осуществляет подготовку к следующему испытанию. При этом очищаются рабочие ячейки, хранящие значения и , а содержимое ячеек, хранящих число отказов и обслуженных заявок, пересылаются в специальный массив для последующей статистической обработки. Дальше управление передается на оператор 3, и начинается очередное испытание.

Если неравенство не выполняется, управление передается оператору 16.

Оператор 16 осуществляет статистическую обработку полученных результатов и вычисляет требуемые показатели эффективности функционирования системы за время .

Можно моделировать работу системы за целый месяц в те­чение нескольких минут машинного времени. Преимущество «сжа­тия времени» при моделировании становится очевидным, если по­пытаться получить такую же информацию, используя физическую систему.

Пример. Рассмотрим, как можно моделировать одно­фазные системы обслуживания с помощью ручных вычислений. Этот пример должен пояснить основные идеи, описанные выше.

Пусть мы хотим моделировать систему массового обслуживания, поступление требований в которой подчинено пуассоновскому рас­пределению со средним 3 клиента в час, а время обслуживания рав­но 0,2 ч с вероятностью 0,5 или 0,6 ч с вероятностью 0,5. Клиенты обслуживаются согласно дисциплине «первым пришел – первым обслуживаешься»; длина очереди, а также источник поступления клиентов не ограничены. Предположим, что в начальный момент мо­делирования клиентов нет.

Для пуассоновского входного потока со средней интенсивностью клиента в час промежутки времени между требованиями имеют экспоненциальное распределение и, как показано ранее, могут быть получены из формулы

.

Поскольку время обслуживания равно либо 0,2, либо 0,6 ч с рав­ными вероятностями, время обслуживания определяется как

Как указывалось выше, в однофазной системе обслуживания возможны события только двух типов: поступление клиентов и их уход (окончание обслуживания). Действия, вызываемые этими со­бытиями, можно охарактеризовать следующим образом.