Обслуживание с ограниченным временем пребывания

Постановка задачи обслуживания с ограничением времени пребывания совпадает с постановкой задачи обслуживания с ожиданием без потерь с тем лишь отличием, что каждая заявка может находиться в системе не более чем время t. Для заявки, поступившей в систему, может иметь место один из трех вариантов завершения пребывания в СМО:

- время ожидания и период обслуживания заявки оказалось меньше, чем t (заявка обслужена полностью);

- время ожидания оказалось меньше, чем t, но оставшегося до истеченияt времени не хватило, чтобы полностью завершить обслуживание (заявка была потеряна, не будучи полностью обслуженной);

- время ожидания оказалось большим, чем t, и произошла «чистая» потеря заявки без затраты времени на обслуживание.

Если заявки обслуживаются в порядке очередности их поступления, то чистых потерь быть не может. Все три случая возможны, если обслуживание происходит не в порядке очередности, а в порядке случайного выбора из очереди.

ПРИМЕР – доказательство невозможности «чистых» потерь для ординарного потока заявок.

Рассмотрим случай упорядоченного обслуживания простейшего потока m одинаковыми ОА. Если t=const, то знания того, сколько заявок находится в системе в данный момент, совершенно не достаточно для заключения о том состоянии, в котором СМО будет находится в последующие моменты времени. Судьба каждой заявки в значительной мере определяется моментом ее поступления.

Рассмотрим случайную функцию x_i(t), определенную следующим образом: x_i(t)=0, если в момент времени t i-й ОА свободен, в остальных случаях x_i(t) равно времени, которое должно пройти с момента t до того момента, когда ОА с номером i освободится от обслуживания заявок, поступивших до момента времени t. Из постановки задачи следует, что при любых t выполняется x_i(t)£t. Отложим по оси абсцисс время, а по оси ординат – функцию x_i(t). Отметим моменты, в которые поступают заявки на обслуживание (см. рис. 28). Пусть до момента времени t_i1 ОА был свободен. Это значит, что до этого момента функция x_i(t)=0, а в момент t_i1 совершает скачек. Если необходимая длительность обслуживания h_i1 равна или меньше t, то x_i(t_i1+0)= h_i1, а если h_i1>t, то x_i(t_i1+0)=t. При возрастании времени x_i(t) убывает на величину протекшего периода до тех пор, пока не обратится в 0 или же до ближайшего момента поступления новой заявки.

Как видно на рис. 28, вторая заявка поступила в i-ый ОА на обслуживание, когда первая заявка еще не была обслужена полностью. Сумма остатка незавершенного обслуживания первой заявки и требуемой длительности обслуживания второй заявки h_i2 превысила заданное ограничение t. В результате вторая заявка покинула систему в момент времени t_2out=t_i2+t, а остаток незавершенного обслуживания составил t_н.о.2.

Если рассматривать m-мерный случайный процесс x(t)={x₁(t),.. x_m(t)}, то для заявки, поступающей в систему в момент времени t, время ожидания начала обслуживания равно

Т. о. процесс x(t) дает необходимые сведения о том, что ожидает поступившую в систему заявку. Если имеется несколько ОА, для которых x_i(t-0) достигают минимума, то заявка выбирает любой из них.

Процессы x(t), определенные для двух рассмотренных случаев – обслуживание с ограниченным временем ожидания и ограниченным временем пребывания, описаны одинаково. Однако, особенности постановок задач на них отразились – в первом случае x_i(t) может принимать любые неотрицательные значения, тогда как при обслуживании с ограниченным временем пребывания она ограничена сверху величиной t.