Основные правила и требования

РГР № 3. по дисциплине «Математика»

Раздел «Кратные интегралы»

для студентов I курса
(очное отделение)
II семестр

Основные правила и требования

Каждый студент выполняет один вариант задания. Выбор варианта осуществляется по номеру в журнале группы или по указанию преподавателя. Сроки сдачи задания устанавливаются преподавателем.

Первые пять задач каждого варианта необходимо решить при следующих условиях:

1. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.

2. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной данными линиями.

3. Найти площадь части поверхности вырезаемой поверхностью .

4. Найти объем тела, ограниченного заданными поверхностями.

5. Найти массу тела плотности ограниченного данными поверхностями.

Вариант № 1

1. .

2.

3. ,

4.

5.

6. Найти длину кардиоиды

7. Вычислить площадь части поверхности параболоида ограниченной плоскостью

Вариант № 2

1.

2.

3.

4.

5.

6. Вычислить координаты центра тяжести однородной дуги астроиды расположенной в I квадранте.

7. Найти массу сферы если поверхностная плотность в каждой точке равна расстоянию от этой точки до оси .

Вариант № 3

1.

2.

3.

4.

5.

6. Найти массу дуги окружности расположенной в I квадранте, если плотность распределения массы в каждой точке кривой равна квадрату ординаты.

7. Найти массу параболической оболочки , плотность которой в каждой точке равна ее аппликате.

Вариант № 4

1. .

2.

3. ,

4.

5.

6. Вычислить статический момент относительно плоскости одного витка винтовой линии

7. Найти площадь части поверхности сферы расположенной внутри цилиндра

Вариант № 5

1.

2.

3.

4.

5.

6. Вычислить момент инерции относительно точки дуги окружности

7. Найти площадь поверхности содержащейся между плоскостями

Вариант № 6

1. .

2.

3.

4.

5. .

6. Вычислить статический момент относительно оси верхней половины эллипса если плотность распределения массы в точке равна ординате этой точки.

7. Найти массу поверхности сферы, если ее поверхностная плотность в каждой точке равна квадрату расстояния этой точки от вертикального диаметра.

Вариант № 7

1.

2.

3. ,

4.

5.

6. Вычислить массу отрезка , если и а плотность распределения массы в каждой точке равна

7. Найти статические моменты однородной треугольной пластинки относительно координатных плоскостей.

Вариант № 8

1.

2.

3. ,

4. содержащего точку

5.

6. Найти массу первого витка винтовой линии если плотность распределения массы в каждой точке

7. Найти момент инерции однородной треугольной пластинки относительно плоскости

Вариант № 9

1.

2.

3. ,

4.

5.

6. Найти массу одного витка однородной винтовой линии

7. Найти момент инерции однородной конической поверхности относительно плоскости .

Вариант № 10

1.

2.

3.

4.

5.

6. Вычислить массу участка цепной линии между точками с абсциссами и , если плотность распределения массы в каждой точке обратно пропорциональна ординате точки, причем в точке плотность равна .

7. Вычислить момент инерции относительно оси однородной сферической оболочки плотность

Вариант № 11

1.

2.

3.

4.

5.

6. Найти статический момент относительно оси дуги кривой

от до , если ее плотность

7. Найти массу полусферы если поверхностная плотность в каждой точке .

Вариант № 12

1.

2.

3.

4.

5.

6. Вычислить момент инерции относительно начала координат четверти окружности, расположенной в первом квадранте, если плотность распределения массы

7. Найти площадь части поверхности сферы заключенной внутри параболоида

Вариант № 13

1.

2.

3.

4.

5.

6. Вычислить длину цепной линии между точками с абсциссами

7. Найти массу цилиндрической поверхности заключенной между плоскостями если в каждой ее точке поверхностная плотность обратно пропорциональна квадрату расстояния ее до начала координат.

Вариант № 14

1.

2.

3.

4. содержащего точку

5.

6. Найти массу развертки окружности , если плотность распределения массы в точке равна расстоянию этой точки до начала координат.

7. Найти площадь части поверхности параболоида заключенного внутри цилиндра

Вариант № 15

1.

2.

3.

4.

5.

6. Найти массу кардиоиды , если плотность распределения массы в каждой точке равна ординате этой точки.

7. Найти площадь части поверхности ограниченную плоскостью

Вариант № 16

1.

2.

3.

4.

5.

6. Найти статический момент относительно оси дуги эллипса если ее плотность

7. Найти площадь части поверхности параболоида отсекаемой плоскостью .

Вариант № 17

1.

2.

3. .

4.

5.

6. Найти длину астроиды

7. Найти массу поверхности треугольника с вершинами если поверхностная плотность в каждой точке

Вариант № 18

1.

2.

3.

4.

5.

6. Найти статические моменты относительно осей координат дуги астроиды расположенной в первом квадранте, если плотность распределения массы в каждой точке

7. Найти массу части поверхности параболоида ограниченной плоскостью если поверхностная плотность в каждой точке равна квадрату расстояния этой точки до оси

Вариант № 19

1.

2.

3.

4.

5.

6. Найти массу части окружности расположенной в первом квадранте, если плотность распределения массы в каждой точке кривой равна квадрату ординаты этой точки.

7. Найти площадь части поверхности цилиндра расположенной внутри сферы

Вариант № 20

1.

2.

3.

4.

5.

6. Найти статический момент относительно оси Ox дуги параболы

7. Найти массу параболической оболочки плотность которой в каждой ее точке численно равна аппликате.

Вариант № 21

1.

2.

3.

4.

5.

6. Найти массу отрезка прямой от до если ее плотность

7. Найти массу сферы, если поверхностная плотность в каждой точке равна квадрату расстояния этой точки до некоторого фиксированного диаметра сферы

Вариант № 22

1.

2.

3.

4.

5.

6. Найти координаты центра тяжести однородной дуги астроиды расположенной в первом квадранте.

7. Найти статические моменты однородной треугольной пластинки относительно координатных плоскостей.

Вариант № 23

1.

2.

3.

4.

5.

6. Вычислить моменты инерции относительно координатных осей первого витка винтовой линии

7. Найти массу цилиндрической поверхности заключенной между плоскостями если в каждой ее точке поверхностная плотность обратно пропорциональна квадрату расстояния ее до начала координат.

Вариант № 24

1.

2.

3.

4.

5.

6. Найти массу кривой от до если ее плотность

7. Найти массу конической поверхности ограниченной плоскостью если поверхностная плотность в каждой точке равна квадрату расстояния точки от начала координат.

Вариант № 25

1.

2. ограниченной линиями не содержащей точку .

3.

4.

5.

6. Найти момент инерции арки циклоиды относительно оси

7. Найти массу призмы, ограниченной плоскостями если поверхностная плотность в каждой ее точке пропорциональна абсциссе данной точки

Вариант № 26

1.

2.

3.

4.

5.

6. Найти массу дуги кривой

7. Найти центр тяжести части поверхности сферы заключенной в 1-м октанте.

Вариант № 27

1.

2.

3. ,

4.

5.

6. Найти статический момент дуги параболы между точками и относительно оси если

7. Найти массу поверхности куба если поверхностная плотность в точке равна .

Вариант № 28

1.

2.

3.

4.

5.

6. Найти статические моменты дуги астроиды относительно осей координат.

7. Найти массу параболической оболочки , плотность которой равна

Вариант № 29

1.

2.

3. ,

4.

5.

6. Найти массу дуги параболы если линейная плотность параболы в текущей точке равна

7. Найти статический момент однородной треугольной пластины ,

Вариант № 30

1.

2. и осью

3.

4.

5.

6. Найти момент инерции окружности относительно ее диаметра.

7. Найти момент инерции относительно оси однородной сферической оболочки плотности .