Решение

Исполнитель Черепашка имеет параметр «направление движения», может перемещается на экране компьютера, оставляя след в виде линии.

Среди команд исполнителя есть:

Вперед n, где аргумент ‑ число, шагов, выполняемых черепашкой в направлении движения.

Направо m, где аргумент – число в градусах, на которое изменяется направление по часовой стрелке.

Повтори k [***]означает, что последовательность команд в скобках повторится k раз.

Задача сводится к задаче по геометрии.

Повторение одинаковых команд несколько раз подряд называется циклом.

Пусть черепашка выполнила цикл 2 раза, то есть прошла вперед от точки М0 к точке М1 на а=10 шагов, повернулась на 72 градуса и прошла еще те же а шагов до точки М2. Путь черепашки можно изобразить двумя отрезками а. К каждому отрезку а построим серединный перпендикуляр b, точку пересечения серединных перпендикуляров обозначим О.

В прямоугольном треугольнике со сторонами a/2, b, c известен угол при вершине М1, его величина (180-72)/2=54 градуса. Значит угол этого треугольника при вершине О будет 36 градусов, а угол М0ОМ1 будет 72 градуса.

Тело цикла выполняется 5 раз, серединные перпендикуляры каждого отрезка а пройденного пути сходятся в точке О. Угол между ОМ0 и ОМ5 составит 5*72=360 градусов, что составит полную окружность. Значит, полный путь будет замкнут. Имеем замкнутую ломаную из 5 одинаковых по длине отрезков, соединенных под одинаковыми углами – правильный пятиугольник.

Имеется исполнитель Кузнечик, который живет на числовой оси. Система команд Кузнечика: “Вперед N” (Кузнечик прыгает вперед на N единиц); “Назад M” (Кузнечик прыгает назад на M единиц). Переменные N и M могут принимать любые целые положительные значения. Известно, что Кузнечик выполнил программу из 50 команд, в которой команд “Назад 2” на 12 больше, чем команд “Вперед 3”. Других команд в программе не было. На какую одну команду можно заменить эту программу, чтобы Кузнечик оказался в той же точке, что и после выполнения программы?