Пусть функция 
непрерывна на конечном промежутке 
, но не ограничена на этом промежутке.
Определение. Несобственным интегралом 
от функции у=f(x) на промежутке 
называется предел 
, т.е.
. (15)
Если предел, стоящий в правой части равенства (15) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Интеграл (15) иногда называют несобственным интегралом второго рода.
Аналогично вводится понятие несобственного интеграла от функции непрерывной, но не ограниченной на промежутке 
:
. (16)
Если функция не ограничена при 
, где 
, и непрерывна при 
и 
, то несобственный интеграл от функции у=f(x) на отрезке 
обозначается 
и определяется равенством
. (17)
Несобственный интеграл (17) называется сходящимся, если сходятся оба несобственных интеграла в правой части равенства (17).
В противном случае данный интеграл называется расходящимся.
Пример 17. Исследовать на сходимость несобственные интегралы:
а) 
; б) 
.
Решение: а) данный интеграл является интегралом от неограниченной функции (подынтегральная функция 
не определена в точке 
, при 
эта функция неограниченно возрастает).
По определению имеем
[замена: 
] = 
, следовательно, данный интеграл сходится.
б) по определению
.
Значит, данный интеграл является расходящимся.
