Рассмотрим случаи, в которых замена переменной позволяет интегралы от иррациональных функций свести к интегралам от рациональных функций, рассматриваемых в §5 (т.е. рационализировать интеграл).
Обозначим через 
функцию от переменных 
, 
и некоторых постоянных, которая построена с использованием лишь четырех арифметических действий (сложения, вычитания, умножения и деления).
Например, 
, 
и т.д.
Рассмотрим интегралы вида 
. Такие интегралы
рационализируются заменой переменной 
.
Пример 11. Найти
Решение. Подынтегральная функция искомого интеграла записана как функция от радикалов степеней 2 и З. Так как наименьшее общее кратное чисел 2 и З равно 6, то данный интеграл
является интегралом типа 
и может быть рационализирован посредством замены переменной 
. Тогда 
, 
, 
, 
. Следовательно,
.
Положим 
. Тогда 
и
,
где 
.
Рассмотрим интегралы вида 
.
В простейших случаях такие интегралы сводятся к табличным (см. (10.12), (10.15)). (Необходимая замена переменной усматривается после выделения полного квадрата в квадратном трехчлене 
).
Пример 12. Найти интеграл 
.
Решение. Учитывая, что 
, положим 
. Эта замена переменной позволяет свести искомый интеграл к табличному (см. (10.15)):
.
