Интегрирование элементарных функций

Интегрирование представляет собой операцию обратную дифференцированию, поэтому каждой формуле дифференцирования соответствует формула интегрирования. Это дает возможность написать таблицу основных интегралов

1. ; 9.

2. 10.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

7. 15.

8. 16.

17. ;

18. ;

19. .

Укажем ряд приемов, позволяющих во многих случаях сводить заданные интегралы к табличным.

Примеры выполнения задания 1

Данные задания могут быть выполнены методом разложения подынтегральной функции на сумму функций, от каждой из которых первообразную можно найти с помощью «табличного интегрирования» (этот метод основан на линейности неопределенного интеграла).

Пример 1. Найти интегралы (используя метод разложения), результаты проверить дифференцированием:

а) б) ;

в) ; г)

Решение. Нахождение каждого из интегралов начинается с преобразования подынтегральной функции. В задаче а) воспользуемся формулой сокращенного умножения и затем почленным делением числителя на знаменатель (как и в примерах б), в), г)).

а)

(см. табличные интегралы 1 и 2). Обращаем внимание на то, что в конце решения записываем одну общую постоянную С, не записывая постоянные от интегрирования отдельных слагаемых.

б)

(см. табличные интегралы 8 и 9).

в)

(см. табличные интегралы 11 и 12).

г)

(см. табличный интеграл 4).

Замечание. Проверку полученных результатов дифференцированием предлагаем студентам выполнить самостоятельно.

Примеры выполнения задания 2

Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменной (или метод подстановки), описываемый следующей формулой:

(1.1)

где - функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке. Данная формула показывает, что переходя к новой переменной, достаточно выполнить замену в подынтегральном выражении. Удачная замена позволяет упростить исходный интеграл, а в простейших случаях свести его к табличному (табличным).

Отметим два частных случая замены переменных:

1. Введение под дифференциал постоянного слагаемого.

Для любой постоянной величины а справедливо равенство:

(1.2)

поэтому

2. Введение под дифференциал постоянного множителя.

Так как , то имеет место равенство

(1.3)

поэтому . (1.4)

Пример 2. Найти интегралы:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

Решение. Данные интегралы могут быть найдены путем применения формул введения под знак дифференциала постоянного множителя и слагаемого к одному из табличных интегралов.

а)

(см. табличный интеграл 7).

Заметим, что при имеют место формулы

(1.5)

(1.6)

б)

(см. табличный интеграл 2).

Следует заметить, что в общем случае

(1.7)

(см. табличный интеграл 3).

в)

Отметим, что при

. (1.8)

г)

(см. табличный интеграл 5).

Отметим, что при

. (1.9)

д)

(см. табличный интеграл 4).

е)

(см. табличный интеграл 8).

Примеры выполнения задания 3

Данные задания могут быть решены методом замены переменной. При этом полезным будет вспомнить равенство

(или ), (1.10)

из которого вытекают следующие формулы:

(для ),

в частности:

Пример 3. Найти интегралы

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

Решение.

а) сделаем замену переменной полагая . Найдем дифференциал от левой и правой части формулы :

или .

Окончательно,

Тогда

(см. табличный интеграл 5).

б) Заметим, что тогда обозначим

и применим формулу 2 из таблицы интегралов:

в) Для решения примера воспользуемся заменой

Тогда , т.е. откуда .

Итак,

г) Для решения данного примера воспользуемся равенством и заменой . Используя указанную замену и табличное интегрирование, получим результат:

д) Воспользуемся заменой, существенно упрощающей решение данного примера: . Тогда , откуда . Используя указанную замену и табличное интегрирование получим результат

е) Для решения примера воспользуемся заменой . Тогда т.е. и

Используя указанную замену и табличное интегрирование, получим результат

Примеры выполнения задания 4

Данные задания должны быть решены методом интегрирования по частям, т.е. с помощью формулы интегрирования по частям:

. (1.11)

В указанном равенстве произвольную постоянную мы не пишем, т.к. в правой части формулы остался неопределенный интеграл, содержащий произвольную постоянную.

Полезно запомнить следующие 6 типов интегралов, которые удобно вычислить интегрированием по частям (n-натуральное число, а - действительное число)

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. .

Для интегралов 1, 2, 3 следует принимать за uмножитель , т.е. обозначить . Это приведет к интегралу сходного типа, но уменьшит степень х на единицу. После n-кратного применения этого приема мы получим один из табличных интегралов

, , .

В интегралах 4, 5, 6, за u следует принять множитель при степенной функции, т.е. , или соответственно.

Пример 4. Найти интегралы, применяя метод интегрирования по частям

а) ; б) ;

в) ; г)

Решение.

а) Введем обозначения . Тогда

и . Применяя формулу интегрирования по частям (1.11) получаем

б) Обозначим .

Тогда

и .

Применяя формулу интегрирования по частям (1.11) получаем

в) Полагаем, что .

Тогда и

Применяя формулу (1.11) получаем

г) В данном примере для нахождения искомого интеграла формулу интегрирования по частям придется применять дважды.

Полагаем, что . Тогда и . Применяя формулу интегрирования по частям, получаем

Повторное применение формулы интегрирования по частям приводит к табличному интегралу. Действительно, обозначим теперь

Тогда , и

Пример выполнения задания 5

Простейшими рациональными дробями называются рациональные дроби следующих типов

I. ; II.

III. ; IV.

где А, а, р, q, M, N - действительные числа, а трехчлен не имеет действительных корней, т.е. .

Покажем методы интегрирования этих функций. Интегрирование простейших дробей I и II типов не представляет труда. Если воспользоваться формулой (1.2) и формулами таблицы интегралов, то

получим

Рассмотрим интегрирование рациональной дроби III типа.

(где

Выделим в знаменатель дроби полный квадрат

Сделаем в замену переменной, учитывая, что

Тогда

Первый интеграл вычисляем методом замены переменных

а второй интеграл - табличный. Возвращаясь к исходной переменной , получаем

Интегрирование дроби IV типа можно осуществить, используя реккурентные формулы, однако, удобнее воспользоваться справочным пособием (например, «Таблицы интегралов и другие математические формулы», автор Г.Б.Двайт).

Пример 5. Найти интегралы от выражений, содержащих квадратный трехчлен:

а) ; б) ;

в) .

Решение.

а) Выделим полный квадрат в знаменателе дроби подынтегрального выражения и сделаем замену ,

Получаем

Воспользуемся табличными интегралами 3 и 10:

б) Выделим полный квадрат в подкоренном выражении подынтегральной функции

и сделаем замену .

Получаем

Воспользуемся табличными интегралами 2 и 13:

в) Выделим полный квадрат в подкоренном выражении подынтегральной функции

и сделаем замену

Получаем

Воспользуемся табличными интегралами 11 и 2

Примеры выполнения задания 6

Рассмотренный в 1.5. метод интегрирования правильных рациональных дробей, знаменатель которых имеет вторую степень (выделение полного квадрата в знаменателе с последующей заменой переменной) имеет существенный недостаток: он не обобщается в том случае, когда степень знаменателя больше двух. Покажем другой возможный метод интегрирования правильных рациональных дробей.

Пример 6. Найти интеграл от рациональной дроби, разложив ее на сумму простейших дробей:

а) ; б) ;

в) .

Решение.

а) Разлагаем знаменатель подынтегральной функции на неприводимые множители

Используя полученное разложение, запишем представление правильной дроби (подынтегрального выражения) в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами:

Из последнего равенства найдем значения коэффициентов А, В, С. Приводя дроби правой части к общему знаменателю, получаем равенство

т.е.

Подставляя в последнее равенство числовые значения х, находим значения коэффициентов:

если , то имеем и .

Тогда

б) Разлагаем знаменатель подынтегральной функции на неприводимые множители

Из последнего равенства находим значения коэффициентов А, В, С. После приведения к общему знаменателю дробей правой части получим равенство

т.е.

Подставляя в последнее равенство числовые значения х, находим значения коэффициентов:

если , то имеем и .

если , то имеем .

Подставляя найденные значения и , вычислим значение В: , откуда .

Тогда

в) Разлагаем подынтегральную функцию (правильную дробь) на простейшие дроби:

Приводя дроби в правой части равенства к общему знаменателю и приравнивая числители в обеих частях, получим

Полагая сначала в этом тождестве , а затем приравнивая коэффициенты при и х , получим систему уравнений

для которой решением являются числа

. (Проверить самостоятельно)

Следовательно, .

Используя выше изложенные методики и табличные интегралы, получим

Рассмотренный при решении примеров п.1.6 метод разложения правильной дроби на простейшие, иногда называют методом неопределенных коэффициентов.

Замечание. Следует отметить, что в предыдущих примерах были рассмотрены лишь правильные дроби, т.е. такие, у которых степень числителя меньше степени знаменателя. Заметим также, что используя алгоритм деления многочленов «углом», известный из школьного курса, можно представить любую неправильную дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби. Например,

Тогда интеграл от исходной дроби сводится (с помощью метода разложения) к сумме интегралов от многочлена и правильной дроби, т.е.

Примеры выполнения задания 7

Рассмотрим методы интегрирования тригонометрических функций, решая конкретные примеры

Пример 7. Найти интегралы

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

к) .

Решение.

а) Для нахождения интеграла воспользуемся тригонометрическим тождеством и применим формулы таблицы интегралов 8 и 9:

б) Для нахождения интеграла воспользуемся заменой: , а также формулой т.е. . Учитывая вышеизложенное, получаем

Заметим, что в данном примере замена определялась тригонометрической функцией, имеющей четную степень в подынтегральном выражении.

в) В данном примере полагаем , тогда .

Следовательно,

г) Заметим, что использование замены приводит к табличному интегрированию. Действительно,

и .

Тогда

д) Интегралы от тригонометрических функций, содержащих функции и в четных степенях находятся с помощью формул

т.е.

е) Для вычисления данного интеграла воспользуемся уже известным приемом представления: . Тогда

ж) Интегралы вида , , , (где a, b - некоторые действительные числа) находятся с помощью известных тригонометрических формул:

Тогда

з) Для нахождения данного интеграла воспользуемся заменой , а также формулой , т.е. Учитывая вышеизложенное, получаем

к) Интегралы вида (или ), где m - целое положительное число, вычисляются с помощью формулы:

(или соответственно ).

Примеры выполнения заданий 8

Интегралы вида , где R - рациональная функция могут быть сведены к интегралам от рациональной функции с помощью подстановки

Действительно,

Если для подынтегральной функции имеет место тождество , то для приведения интеграла к рациональному виду можно применить подстановку

тогда

Тригонометрические подстановки используются также для интегрирования некоторых иррациональных функций.

1) Если подынтегральная функция содержит радикал , то обычно используют подстановку ( или ); отсюда

(или ).

2) Если подынтегральное выражение содержит радикал , то используют подстановку , тогда .

3) Если подынтегральное выражение содержит радикал , то используют подстановку , тогда .

Заметим, что использование тригонометрических подстановок не всегда оказывается рациональным.

Пример 8. Найти интегралы, применяя тригонометрические подстановки:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

Решение.

а) используем подстановку ( ), тогда и .

Находим

б) Преобразуем подкоренное выражение подынтегральной функции, выделив полный квадрат:

затем воспользуемся подстановкой , откуда

и .

Итак,

(см. табличные интегралы 19 и 2).

Возвращаясь к переменной х, выразим функцию

тогда

Окончательно,

в) Воспользуемся заменой (подстановкой) тогда .

Находим интеграл:

(см. табличные интегралы 2 и 18).

Возвращаясь к переменной х, выразим функцию: тогда

Окончательно,

г) Используя подстановку , будем иметь:

д) Преобразуем подынтегральное выражение

и воспользуемся подстановкой

, .

Тогда

Разлагаем правильную подынтегральную дробь на простейшие дроби методом неопределенных коэффициентов:

или

Записав систему равенств коэффициентов при одинаковых степенях

и решив ее, получим . Тогда

е) Воспользуемся подстановкой , тогда

Замечание. В некоторых примерах могут быть использованы разные подстановки, например, или . Выбор следует остановить на той подстановке, которая приводит к наиболее простому способу интегрирования.

Примеры выполнения задания 9

Рассмотрим случаи, в которых замена переменной позволяет интегралы от иррациональных функций свести к интегралам от рациональных функций.

I. Интегралы виды вычисляются с помощью замены: , , .

II. Интегралы от дробно-линейных функций, т.е. интегралы виды , где вычисляются с помощью подстановки .

III. Интегралы вида . Могут быть найдены с помощью обратной подстановки .

IV. Интегралы вида в простейших случаях сводятся к табличным, необходимая замена переменной определяется после выделения полного квадрата в квадратном трехчлене .