Однородные дифференциальные уравнения.

Ответы на экзамен по математике для специальности ЛЭ.

Примечание:

-разрешено взять на экзамен написанную на листе личную таблицу производных и разложение некоторых функций в ряд Маклорена

Дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения первого порядка. Общее решение, частное решение, общий интеграл.

ДУ первого порядка называется уравнение связывающее независимую переменную, функцию и её производную. F(x, y, y’)=0

ДУ первого порядка имеет бесчисленное множество решений, которое обычно определяется функцией y=f(x, C), содержащей одну произвольную постоянную С. y=f(x, C) – общее решение ДУ.

Решение удовлетворяющее заданным начальным условиям называется частным решением данного уравнения.

Решение дифференциального уравнения в неявном виде называетсяобщим интегралом дифференциального уравнения.

Уравнения с разделёнными и с разделяющимися переменными.

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными имеют вид f(y)dy=g(x)dx.

Дифференциальное уравнение первого порядка y' = f(x,y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функцию f(x,y) можно представить в виде произведения двух функций, зависящих только от x и y. y’=f(x)*g(y)

Однородные дифференциальные уравнения.

Функция f(x,y) называется функцией нулевого порядка, если её можно представить в виде g(y/x).

Функция f(x,y) называется однородной k-го порядка, если при замене x->xt y->yt получается функция t^kf(x,y)

Уравнение вида P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 называется однородным, если P и Q однородные функции одного порядка.