Случайной называется величина, которая в результате эксперимента принимает то или иное (но при этом только одно) возможное значение, заранее не известное, меняющееся от опыта к опыту [1].
Дискретной называется случайная величина, которая принимает конечное или бесконечное счётное множество значений.
Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать любые значения из некоторого интервала.
Вероятность события – численная мера объективной возможности появления этого события. Вероятность события A вычисляется как отношение числа случаев m, благоприятствующих появлению этого события, к общему числу случаев n
.
Законом распределения случайной величины называется всякое соответствие между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. При этом говорят, что случайная величина подчиняется данному закону распределения.
Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая случайная величина. В противном случае случайные величины называются зависимыми.
Закон распределения случайной величины может быть задан в виде таблицы, в виде функции распределения и в виде плотности распределения.
Таблица, содержащая возможные значения случайной величины и соответствующие вероятности, является простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины.
Непрерывная случайная величина имеет бесчисленное множество возможных значений, поэтому перечислить их в таблице невозможно. Табличная форма задания закона случайной величины называется рядом распределения.
Наиболее общей формой задания закона распределения является функция распределения F(x), которая показывает вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее фиксированного действительного числа x, т.е.
.
Функция распределения используется для описания закона распределения как дискретных, так и непрерывных случайных величин.
Закон распределения непрерывной случайной величины X может быть задан плотностью распределения f(x)=F′(x).
Для приближенного представления плотности распределения случайной величины X по ограниченному числу n экспериментальных данных используется гистограмма частот (или гистограмма относительных частот). Для её построения весь промежуток [xmin; xmax] (от наименьшего наблюдаемого значения xmin до наибольшего наблюдаемого значения xmax) разбивается на несколько промежутков равной длины h. Для каждого из полученных промежутков подсчитывается число наблюденных значений, в него попавших. Если на k-й промежуток попало nk наблюденных значений, то на этом промежутке строится прямоугольник высотой nk/h (для гистограммы относительных частот высота равна nk/(n∙h)).
Закон распределения полностью характеризует случайную величину X с вероятностной точки зрения.
Но при решении ряда практических задач удобнее пользоваться некоторыми количественными показателями, который в сжатой форме дают информацию о случайной величине. Такие показатели называются числовыми характеристиками случайной величины. Основными из них являются математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, моменты различных порядков, мода и медиана.
Математическое ожидание M(x) характеризует некоторое среднее значение, вокруг которого сосредоточены все возможные значения случайной величины X. Поэтому математическое ожидание иногда называют просто средним значением случайной величины. Статистическая оценка M(x) определяется выражением
,
где xi – значение X в i-ом эксперименте; n – число экспериментов.
Отметим некоторые свойства математического ожидания.
Свойство 1: Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий
.
Свойство 2: Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий
.
Свойство 3: Постоянный множитель случайной величины может быть вынесен за знак математического ожидания
.
Свойство 4: Математическое ожидание постоянной величине равно самой постоянной
.
Свойство 5: Математическое ожидание отклонения случайной величины от её математического ожидания равно нулю
.
Дисперсия σ²x случайной величины X или среднее квадратическое отклонение σx характеризуют разброс случайной величины относительно среднего значения
.
Статистическая оценка дисперсии определяется по формуле
.
Рассмотрим некоторые свойства дисперсии
Свойство 6: Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсией этих величин
.
Свойство 7: Постоянный множитель случайной величины можно вынести за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат
.
Свойство 8: Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий
.
Отметим ещё одно свойство, важное для генерирования нормального распределения случайны величин
Свойство 9: Если n независимых случайных величин X1,X2,…Xn имеют одинаковые произвольные законы распределения, то закон распределения суммы этих величин приближается к нормальному, при неограниченном росте n.
Последнее свойство является следствием центральной предельной теоремы. Неплохая для практики точность моделирования нормального распределения достигается уже при n=5.
1.2.2 Алгоритм формирования случайной величины X, равномерно распределённой в диапазоне [a; b]
Рассматриваемый алгоритм генерирует дискретную случайную величину X, но шаг дискретности ∆X может быть настолько малым, что для практических задач моделирования X может имитировать непрерывную случайную величину.
Вначале генерируется значение целой случайной величины R, равномерно распределённой в диапазоне [0; N–1].
В библиотеке функций языка программирования C это реализуется следующим образом:
R=random(N).
Значение N необходимо выбирать достаточно большим (но не более допустимого максимального значения для заданного типа данных, например для целых беззнаковых 32767). При этом шаг дискретности ∆X генерируемой случайной величины будет равен
.
Случайная величина X, равномерно распределённая в диапазоне [a; b], вычисляется по формуле
.
.
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.