Задачи, не содержащие неопределенностей, в любой области деятельности человека скорее исключение, чем правило. Адекватное реальности описание проблемы всегда содержит различного типа неопределенности, отражающие то естественное положение, в котором находится исследователь: любое его знание относительно и неточно. Неопределенность проблемы тем выше, чем сильнее зависимость исследуемого объекта от окружающей среды.
Управление системой, функционирующей в условиях неопределенности, требует особой осторожности и обдуманности: выработка наиболее обоснованного комплекса мер важна потому, что в ситуации, когда конечный результат не определен однозначно, на развитие событий можно влиять только принимаемым решением. Принятие неправильного или, по крайней мере, не самого удачного решения всегда связано с потерями, цена которых может быть очень высока. Не случайно идея планомерного совершенствования самих процедур принятия решения зародилась во время второй мировой войны, когда для выбора стратегии и тактики требовался анализ весьма сложных ситуаций.
Позднее стало очевидно, что общность термина «операция» служит своеобразным отражением другой общности: задачи, возникающие в любой области знания, при всех их качественных различиях в конечном счете сводятся к выбору способа действия, варианта плана, параметров конструкций, то есть к принятию решений. И «операция» при этом означает любое целенаправленное действие.
Начиная с 40-х годов проблемам исследования операций посвящается все большее и большее число работ – математических, методологических, а также связанных с анализом конкретных процессов практически во всех сферах научной и производственной деятельности. Первоначально в этих работах господствовал чисто прагматический подход – исследование операций представлялось как собрание различных задач, для которых могли быть использованы однотипные методы решения. Позднее теория исследования операций сложилась в единую научную дисциплину, изучающую определенный класс моделей человеческой деятельности. При решении любой конкретной задачи применение методов этой теории предполагает:
1. Построить математические модели для задач принятия решений и управления в сложных ситуациях или в условиях неопределенности;
2. Изучить на модели взаимосвязи, определяющие возможные последствия принимаемых решений, а также установить критерии эффективности, позволяющие оценивать относительное преимущество того или иного варианта действия.
Модель для исследования операций теснейшим образом связана со спецификой исследуемого процесса, и характер этого процесса вместе с целями моделирования определяет выбор базового математического аппарата. Фиксация этих двух опорных точек – сути процесса и целей моделирования – позволяет свести все многообразие ситуаций, требующих того или иного управляющего решения, к вполне ограниченному классу математических постановок. Коснемся существа некоторых из разделов теории исследования операций.
Математическое программирование. В зависимости от вида функции цели используют разные формы программирования (например, линейное, нелинейное, динамическое), которые представляют собой группу вычислительных методов, позволяющих выбрать наилучший план или совокупность действий из множества возможных. Особое распространение получили методы линейного программирования прежде всего из-за относительной простоты получения оптимальных решений.
Теория игр. В своих прикладных аспектах используется, когда планирование осуществляется в условиях конкуренции, неопределенности или несовершенства знаний о системе и о контактирующей с ней внешней среде. «Предметное» проявление неопределенности представляется как контрплан условного противника (партнера по игре). Примером такой «игры» могут служить взаимоотношения фермера и погоды.
Теория массового обслуживания. Она эффективно используется при исследовании систем, функционированию которых сопутствует процесс образования очередей или задержек обслуживания.
Сетевой анализ – широко известная группа методов, используемых для планирования крупных разработок и контроля за ходом их выполнения.
Даже из этих предельно сжатых формулировок нетрудно заключить, что многие задачи сельскохозяйственной экономики отлично «вписываются» в методологию исследования операций. Более того, некоторые из них стали хрестоматийными и приводятся в качестве наиболее наглядных примеров в работах общетеоретического (несельскохозяйственного) характера. Это относится к задаче рационального составления комбикорма, иллюстрирующей возможности линейного программирования, к задачам о распределении удобрений, а также об ирригации и складировании, относящимся к компетенции нелинейного и динамического программирования, к проблеме планирования перевозок зерна, снижающего вероятность образования очереди транспортных средств у элеватора (пример классической задачи массового обслуживания).
Вопросы:
1. Понятие исследования операций, привести примеры задач. Перечислить модели и методы, предназначенные для выбора оптимальных решений.
2. Пояснить особенности моделей и привести примеры постановки задач линейного и нелинейного программирования.
3. Пояснить на примерах особенности оптимизационных задач, решаемых методом динамического программирования.
4. Каковы сложности решения многокритериальных задач? Привести примеры постановки и методы решения.
5. Пояснить проблему решения оптимизационных задач с учетом влияния неопределенностей различного типа. На примерах пояснить подходы к выбору критериев оптимизации.
6. Привести примеры задач, пояснить смысл критериев и оптимальных стратегий в теории игр.
5. Имитационное моделирование.
Все рассмотренные до сих пор модели имели важные общие черты. Для каждой моделируемой ситуации была известна цель (или несколько целей), достижение которой (которых) считалось желательным. Однако далеко не все ситуации таковы. На современном уровне прикладных исследований часто приходится иметь дело со сложными системами, в которых не только наличествует множество целевых функций, но далеко не все ясно с количественным выражением этих функций. Здесь речь вообще может идти не столько о решении тех или иных оптимизационных задач, сколько об исследовании сложных систем, о прогнозировании их будущих состояний в зависимости от выбираемых стратегий управления.
Коль скоро практика настоятельно потребовала метод для исследования сложных систем, он появился. Этот метод получил название «имитационное моделирование».
В качестве примера рассмотрим некоторые вопросы, связанные с разработкой имитационной модели Азовского моря. Предварительный анализ, проведенный экспертами, показал, что вся акватория моря может быть разбита на 7 относительно однородных районов. Состояния внутри каждого были описаны с помощью 120 переменных. Среди этих переменных – концентрации химических элементов, биомасса различных видов бактерий, фито-, зоопланктона, основных видов рыб и т. д.
Общая имитационная модель состоит из нескольких блоков, описывающих временнýю динамику перераспределения между выделенными районами растворенных и взвешенных в воде веществ, а также биогенных элементов, загрязняющих веществ, фито-, зоопланктона, бентоса и рыбы. Для моделирования каждого из блоков используется наиболее подходящий математический аппарат.
Чтобы представить себе сложность общей имитационной модели Азовского моря, достаточно рассмотреть модель любого из блоков, в частности блока, имитирующего пространственно-временную динамику биогенных элементов, то есть соединений азота, фосфора и кремния, определяющих кормовую базу для фито- и зоопланктона. Схематически работа этого блока приведена на рисунке.
yij(t+1)
yij(t)
C(t)
O(t)
A(t)
Ф(t)
Mф(t)
M3(t)
Mp(t)
T(t)
K(t)
D(t)
Здесь yij(t) - содержание i-го биогенного элемента в j-м районе в момент t, C(t) – сток впадающих в море рек, O(t) - количество атмосферных осадков, A(t) - количество смываемого с берегов грунта за счет волн и прибоя, Ф(t) – биомасса фитопланктона, Мф(t), Мз(t), Мр(t) – массы отмершего фито-, зоопланктона и рыб соответственно, Т(t) – температура воды, К(t) – содержание в воде кислорода, D(t) – характеристика обмена в системе вода – дно. Кроме того, возможны трансформации одних биогенных комплексов в другие, что описывается соответствующими системами дифференциальных уравнений. В частности, для азота эти превращения описываются системой из пяти дифференциальных уравнений первого порядка. В результате блок позволяет получить прогноз – значения yij(t) в следующий момент (t+1) – например, через неделю.
Если учесть, что используется свыше ста переменных, имеется семь районов и рассмотренный блок только один, то можно представить себе исключительную сложность разработанной модели и, кроме того, понять, что аналитическое решение (уравнение) для модели моря получить, естественно, невозможно. При этом следует отметить, что имитационная модель экосистемы Азовского моря в свою очередь – лишь один из блоков имитационной системы водохозяйственного комплекса региона.
Имитационная модель Азовского моря используется для проверки возможных последствий тех или иных антропогенных воздействий и долгосрочного прогнозирования. Само построение таких моделей – сложный процесс. В частности, необходимость знания численных значений коэффициентов, входящих в математические уравнения различных блоков, позволила определить те недостающие в настоящий момент данные, которые должны были быть получены в результате наблюдений, с тем, чтобы выдаваемые прогнозы имели большую степень достоверности.
Следует напомнить, что независимо от того, какой метод используется для построения, модели явлений (например, биологических) должны удовлетворять некоторым общим требованиям. Во-первых, результаты (прогнозы состояния моря), получаемые на модели, должны статистически значимо соответствовать экспериментальным данным, а описание, положенное в основу модели, - не быть более сложным, чем это необходимо для получения такого соответствия. Во-вторых, это описание должно содержать информацию о биологическом механизме моделируемого процесса, а модель – обладать возможностями предсказания результатов тех экспериментов, которые не были использованы при ее построении и подборе коэффициентов в уравнениях.
Итак, суть метода имитационного моделирования состоит в том, что процесс функционирования сложной системы представляется в виде определенного алгоритма, который и реализуется на ЭВМ. По результатам реализации могут быть сделаны те или иные выводы относительно исходного процесса.
Перейдем к описанию процесса построения любой математической модели сложной системы. Его можно представить себе состоящим из следующих этапов:
1. Формируются основные вопросы о поведении системы, ответы на которые мы хотим получить с помощью модели.
2. Из множества законов, управляющих поведением системы, учитываются те, влияние которых существенно при поиске ответов на поставленные вопросы.
3. В дополнение к этим законам, если необходимо, для системы в целом или отдельных ее частей формулируются определенные гипотезы о функционировании. Как правило, эти гипотезы правдоподобны в том смысле, что могут быть приведены некоторые теоретические доводы в пользу их принятия.
4. Гипотезы так же, как и законы, выражаются в форме определенных математических соотношений, которые объединяются в некоторое формальное описание (формулы, алгоритмы).
Критерием адекватности служит практика, которая и определяет, когда может закончиться процесс улучшения модели. Нет надобности говорить, что критерий этот не формализован и в каждом конкретном случае требует специального исследования.
Однако, несмотря на всю привлекательность, описанный подход к построению моделей в применении к изучаемым в настоящее время сложным системам обладает определенными недостатками. Прежде всего, определенные трудности могут возникнуть при попытке построить математическую модель очень сложной системы, содержащей много связей между элементами, разнообразные нелинейные ограничения, большое число параметров и т.п. Может статься, что для моделируемой сложной системы еще не разработана стройная теория, объясняющая все аспекты ее функционирования, в связи с чем затруднительно формулировать те или иные правдоподобные гипотезы.
Далее, реальные системы зачастую подвержены влиянию различных случайных факторов (погодные условия, случайные ошибки экспериментальных выборок и т.п.). Учет этих факторов аналитическим путем представляет весьма большие, зачастую непреодолимые трудности.
Эти недостатки, систематически возникающие при изучении сложных систем, заставили искать и найти более гибкий метод моделирования – имитационное моделирование. В основе этого метода лежит вполне понятная идея – максимально использовать всю имеющуюся в распоряжении исследователя информацию об отдельных элементах системы с тем, чтобы получить возможность преодолеть аналитические трудности и найти ответ на поставленные вопросы о поведении всей системы.
Если задачи исследования относятся не к выяснению фундаментальных законов и причин, определяющих динамику реальной сложной системы, а к прогнозу и анализу поведения системы, как правило, выполняемому в сугубо прикладных целях, то применение имитационного моделирования более чем уместно. Проследим по этапам, как реализуется этот метод с тем, чтобы лучше понять отличие его от описанного в предыдущих разделах классического математического моделирования.
1. Как и ранее, формируются основные вопросы о поведении сложной системы, ответы на которые мы хотим получить. Множество этих вопросов позволяет задать множество параметров, характеризующих внутреннее состояние системы – вектор состояния. Здесь не всегда помогает даже глубокое знание реальной системы. Так при прогнозировании долгосрочных изменений климата Земли разные группы экспертов предлагали брать за основу несколько отличные вектора состояний атмосферы, почвы, океанов и т.д. В результате были получены несходные выводы по имитационной модели: в одних случаях следует ожидать потепления, в других – похолодания климата.
2. Осуществляется декомпозиция (разложение) системы на более простые части – блоки. В один блок объединяются «родственные», то есть преобразующиеся по близким правилам, компоненты вектора состояния и процессы, их преобразующие (как в модели Азовского моря).
3. Формулируются математические законы и «правдоподобные» гипотезы относительно поведения отдельных частей (блоков) системы. При этом очень важно, что в каждом блоке для их описания может использоваться свой математический аппарат (алгебраические и дифференциальные уравнения, математическую статистику и др.), наиболее удобный для соответствующего блока. Именно блочный принцип дает возможность при построении имитационной модели устанавливать необходимые пропорции между точностью описания каждого блока, обеспеченностью его информацией и необходимостью достижения цели моделирования.
4. Готовятся алгоритмы и ЭВМ – программы, описывающие функционирование каждого блока. Затем создается единая ЭВМ – программа, где выходные параметры одних блоков, возможно, «подаются на вход» другим.
Можно сказать, что под имитационной моделью системы обычно понимают комплекс программ для ЭВМ, описывающий функционирование отдельных блоков системы и правил взаимодействия между ними.
С учетом целей моделирования выделяются по возможности минимальные наборы «входных» и «выходных» параметров, характеризующих исходные условия функционирования всей системы и прогноз ее реакции на эти условия. Проверка адекватности модели и сам процесс моделирования поведения всей системы состоит во введении на общий «вход» имитационной модели различных значений этих исходных параметров и последующем анализе значений общих «выходных» результатов – прогнозов.
Использование реализаций случайных величин «внутри» модели (например, случайные погодные условия) делает необходимым применение так называемого метода Монте-Карло. Он состоит в многократном проведении экспериментов с имитационной моделью (счет на ЭВМ по единой программе с одинаковыми значениями «входных» параметров) и последующем статистическом анализе полученных по модели «выходных» параметров – результатов моделирования.
O(t)
A(t)
Ф(t)
Mф(t)
M3(t)
Mp(t)